Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 6

Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса.

Эллипс – центральная фигура с центром в точке О(0,0).

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса.

Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью.

Отрезок - называется большой полуосью эллипса.

Отрезок - называется малой полуосью эллипса.

Определение. Отношение половины расстояния между фокусами эллипса к его большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса (6).

(7) - определяет форму эллипса.

Определение. Если эллипс задан уравнением (5), где , то прямые - называются директрисами эллипса.

Вычисление фокальных радиусов: ;

(8).

Аналогично выводится (9).

Теорема; Отношение расстояния произвольной точки М эллипса до фокуса F к расстоянию d от этой точки до директрисы, ближайшей к этому фокусу, есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, т.е. (10).

Доказательство.

, что и т.д.

Гипербола.

Определение. Гиперболой называют геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек и , именуемых фокусами, есть величина постоянная, равная , причем .

Выбор системы координат: - такой же, как и у эллипса.

; .

(как и для эллипса)

(11)

(12) – каноническое уравнение гиперболы.

Эксцентриситет: , где - большая (действительная) полуось; - малая (мнимая) полуось.

Директрисы: . Диагонали опорного прямоугольника - служат асимптотами гиперболы. Все cвойства директрис и эксцентриситета сохраняются и для гиперболы.

Лекция № 12.

Парабола.

Определение. Параболой называют геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки , именуемой фокусом, и некоторой прямой, именуемой директрисой.

Выбор системы координат: - параметр – расстояние от фокуса до директрисы; ; центр О лежит посередине между фокусом и директрисой.

- каноническое уравнение параболы.

2) .

Преобразование координат.

- в старой системе координат;

- в новой системе координат.

Окончательно: .

Упрощение общего уравнения линии второго порядка.

Различают центральные и нецентральные линии второго порядка.

Центр – точка на плоскости, по отношению к которой точки линии располагаются симметрично парами.

Кривая, обладающая единственным центром, называется центральной.

Осуществим параллельный перенос системы координат с целью уничтожения линейных элементов.

Имеем:

, где .

Для того, чтобы существовал единственный центр , т.е. линия была центральной, необходимо и достаточно, чтобы . Тогда координатами центра будут: .

- дискриминант левой части общего уравнения (1).

- дискриминант старших членов уравнения (1).

Вывод: , где .

Для получения канонического вида нужно убрать элемент , что достигается поворотом осей вокруг нового центра на угол .

, где угол поворота выбирается из условия . связаны между собой условиями: .

Определение: Уравнение второй степени называется эллиптическим, если , гиперболическим, если , и параболическим, если .

Примечание. Упрощение параболического уравнения целесообразно начинать с поворота осей с целью уничтожения элемента , а затем в новой системе координат осуществить параллельный перенос вдоль той оси, которая представлена высшей степенью в полученном результате.