Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 3

1)  Находим  и убеждаемся в том, что

2)  Строим матрицу В, элементами которой служат алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы А:

3)  Транспонируем  В:

4)  Умножаем матрицу на коэффициент    :

=

Покажем, что матрица В*- искомая, т.е.,

=

=.

Примем 

Матричный метод решения систем.

Область применения: 

1)  число уравнений равно числу неизвестных

2)  член определителя матрицы

          

   ;

Ранг матрицы.

         

Минором го порядка матрицы называют определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением производныхстрок и столбцов.

Опр. Рангом матрицыназывают наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы  и обозначают  

Если ранг матрицы равен , то это значит, что матрица имеет по крайней мере один

нулевой минор -го порядка, в то время как все миноры порядка  и выше равны нулю.

Лекция № 5.

Элементарные операции над матрицами:

1)  умножение строки (столбца) матрицы на любое отличное от нуля число;

2)  сложение любой строки (столбца) матрицы с друой строкой (столбцом), предварительно умноженное на произвольное число;

3)   Перестановка строк (столбцов) местами;

Определение Две матрицы, получающиеся одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными.

Теорема. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

С помощью элементарных операций любая матрица приводится к эквивалентной матрице канонической структуры. (Главная диагональ или ее часть -единицы, а остальные элементы - нули).    

Пример.     ~~~~

~~~; каноническая структура.

                                         

Понятие об линейной зависимости.   

Определение Говорят, что строки  линейно зависимы, если их линейная комбинация где , числа не равные нулю одновременно.

Если же равенство выполняется только при всех нулевых то строки  называют линейно независимыми.

  -линейно независимые

Теорема. Если ранг матрицы равен, то в этой матрице можно найтилинейно- независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все линейные строки.

Общая теория систем линейных уравнений.

Очевидно, что , т.к. каждый минор матрицы  будет и минором матрицы но не наоборот.

(1)   

Опр: Матрица , получится из матрицы путем добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Опр. Две совместные системы (1) называют равносильными, если они имеют одно

и то же  множество решений.

Элементарные операции:

1)  перемена местами любых уравнений;

2)  умножение любого из уравнений на число, отличное от нуля.

3)  прибавление к одному из уравнений другого, предварительно умноженного на любое число.

Теорема. Элементарные преобразования переводит систему в новую систему, равносильную исходной. 

Примечание. 1. Если в результате элементарных преобразований в системе появилось уравнение вида , то оно может быть отброшено.

2.Если в результате эл. операций в системе появилось уравнение вида,то такое уравнение, а значит и вся система будут несовместимыми.

Теорема Краменора-Капелли. Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы совпадал с рангом ее расширенной матрицы:   Причем, если при выполнении условия 2) окажется, что ранг матрицы  равен числу неизвестных , то система (1) будет иметь единственное решение, если же ранг будет меньше  числа неизвестных, то система будет неопределенной. 

Алгоритм.

Пр. Не решая системы уравнений, выяснить вопрос существования и единственности

и решения.

   1).      ~ ~~~~

~~  система определенная, т.к.   

2). 

 ~~~

~~  система несовместная.

3). ~~

~~

система неопределенная.

Доказательство теории Кронекера-Копелли.

1). Необходимость; Пусть система (1)-совместная -одно из ее решений

(существует) 

~~=;

2) Достаточность; Пусть . Покажем что система совместная.

Если отличный от нуля определитель не занимает левый верхний угол, то путем перенумерации переменных и уравнений всегда это можно сделать.