Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 3

1) Находим и убеждаемся в том, что

2) Строим матрицу В, элементами которой служат алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы А:

3) Транспонируем В:

4) Умножаем матрицу на коэффициент :

Покажем, что матрица В^*- искомая, т.е.,

Примем ;

Матричный метод решения систем.

Область применения:

1) число уравнений равно числу неизвестных

2) член определителя матрицы

;

Ранг матрицы.

Минором го порядка матрицы называют определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением производныхстрок и столбцов.

Опр. Рангом матрицыназывают наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы и обозначают

Если ранг матрицы равен , то это значит, что матрица имеет по крайней мере один

нулевой минор -го порядка, в то время как все миноры порядка и выше равны нулю.

Лекция № 5.

Элементарные операции над матрицами:

1) умножение строки (столбца) матрицы на любое отличное от нуля число;

2) сложение любой строки (столбца) матрицы с друой строкой (столбцом), предварительно умноженное на произвольное число;

3) Перестановка строк (столбцов) местами;

Определение Две матрицы, получающиеся одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными.

Теорема. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

С помощью элементарных операций любая матрица приводится к эквивалентной матрице канонической структуры. (Главная диагональ или ее часть -единицы, а остальные элементы - нули).

Пример. ~~~~

~~~; каноническая структура.

Понятие об линейной зависимости.

Определение Говорят, что строки линейно зависимы, если их линейная комбинация где , числа не равные нулю одновременно.

Если же равенство выполняется только при всех нулевых то строки называют линейно независимыми.

-линейно независимые

Теорема. Если ранг матрицы равен, то в этой матрице можно найтилинейно- независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все линейные строки.

Общая теория систем линейных уравнений.

Очевидно, что , т.к. каждый минор матрицы будет и минором матрицы но не наоборот.

(1)

Опр: Матрица , получится из матрицы путем добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Опр. Две совместные системы (1) называют равносильными, если они имеют одно

и то же множество решений.

Элементарные операции:

1) перемена местами любых уравнений;

2) умножение любого из уравнений на число, отличное от нуля.

3) прибавление к одному из уравнений другого, предварительно умноженного на любое число.

Теорема. Элементарные преобразования переводит систему в новую систему, равносильную исходной.

Примечание. 1. Если в результате элементарных преобразований в системе появилось уравнение вида , то оно может быть отброшено.

2.Если в результате эл. операций в системе появилось уравнение вида,то такое уравнение, а значит и вся система будут несовместимыми.

Теорема Краменора-Капелли. Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы совпадал с рангом ее расширенной матрицы: Причем, если при выполнении условия 2) окажется, что ранг матрицы равен числу неизвестных , то система (1) будет иметь единственное решение, если же ранг будет меньше числа неизвестных, то система будет неопределенной.