Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 5

Свойства:

Лекция № 9.

Геометрический смысл. - Площадь основания.

смешанное произведение с точностью до знака равно объему параллелепипеда построенного на векторах как на сторонах.

Определение Три вектора лежащие в одной плоскости, называются коллинеарными.

Теорема. Для того, чтобы три вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. 1) Пусть

2)Пусть Если допустить противное, т.е. что - не коллинеарные, то существует параллелепипед с что противоречит условию. Примечание. Объем пирамиды, построенной на ребрах равен от объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах.

Условие компланарности трех векторов:.

Аналетическая геометрия на плоскостях.

Определение Уравнением линии 1 на плоскости называется уравнение двух переменных , которому удовлетворяют координаты любой т.и не удовлетворяют координаты любой т.

Дано:

Найти уравнение прямой

Определение Вектор N (А,B) перпендикулярный к прямой l, называется нормальным вектором этой прямой.

Решение. текущая точка прямой l

Имеем: (1)Уравнение прямой проходящей через заданную

точкуперпендикулярную заданному вектору . Вывод: Любая прямая на плоскости описывается уравнением 1-ой степени относительно неизвестных , в котором , где (2)

Обратно: пусть -уравнение 1-й степени, причем . Пусть для определенности . Тогда при .

Вывод: Любое уравнение первой степени есть уравнение некоторой прямой, лежащей на плоскости :

- прямая.

- общее уравнение прямой.

Частные случаи:

А) ;

Б) ; ;

В) .

Лекция № 10.

Каноническое уравнение прямой.

Определение: Вектор , коллинеарный заданной прямой , называется ее направляющим вектором.

Дано: - направляющий вектор ; .

Найти уравнение прямой .

Решение.

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Пусть направляющим вектором служит единичный вектор , где . Имеем: - уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом .

Дано: ; . Составить уравнение прямой .

Решение.

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки с угловым коэффициентом .

Уравнение прямой в образах: где .

Взаимное расположение прямых на плоскости

Примечание. Если , т.е. прямые и , заданные уравнениями общего вида, пересекаются, то уравнение описывает пучок прямых, проходящих через точку пересечения .

Примечание.

1) Если , то . {Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов}.

2) Если н/с .

Вывод: Для того, чтобы прямые и были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы .

Расстояние от точки до прямой.

Дано:

Найти:

Решение.

1. ;

2. ;

3. , где ;

4. ;

5. .

Вывод: .

Кривые второго порядка

Определение: Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно переменных и :

(1)

1. Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки , именуемой центром.

- (2)

уравнение окружности радиуса с центром в точке .

(1),(2) - частный случай уравнения (1).

Обратная задача. Что определяет уравнение (1), если , т.е. , где

А) , где - уравнение (2) окружности.

Б) окружность выраждается в точку .

В) не существует геометрического образа.

Лекция № 11.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек и , именуемых фокусами, есть число постоянное, равное , причем , где - расстояние между фокусами.