Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 14

Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.

. . Задаем разложение нового базиса по старому (1)

-старый базис

-новый базис.

То есть =L^т,где L^т.

==+=+=>

=> (2) =L, где L=.

Вывод: Если новый базис задан формулами (1), то старые координаты любого вектора выражаются чурез его новые координаты по формулам (2).

х=L=>L^-1 х где х=, =.

Частный случай =; =, где , ортопорогальные базисы.

L^т. L.

=> ;

=> ; => l₁l₂+m₁m₂=0.

L^тL====Е

L^тL=Е => L^тL^-1.

Определение: Матрица L, удовлетворяющая условию L^тL^-1, называется ортогональной.

Вывод: При переходе от ортонормального базиса к ортонормальному базису получается формулы преобразования координатой (2), матрица которых является ортогональной. То есть х=L => =L^-1х= L^тх (3).

Изменение матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису.

1) Пусть дано линейное преобразование:

, =; х=, А=; (4)

2) Пусть задан переход от старого базиса к новому базису .

х=L где L=; =.

-старые координаты вектора

-новые координаты вектора

-старые координаты вектора =А

-старые координаты вектора .

Имеет: х=L; =L; =А => L=АL (умножим на L^-1) L^-1L=

=L^-1АL => =(L^-1АL)- координатное представление данного линейного преобразования = в новом базисе.

То есть =, где =L^-1АL.

Пример: Дано координатное представление некоторого линейного преобразования в базисе. :

Найти координатное представление того же преобразования в базисе , если .

Решение имеет: А=; L^т= => L=

Доказательство

L=10 => L^-1=; => =L^-1AL==

==.

Ответ:

Собственные векторы линейного преобразования.

Определение: Пусть дано линейное преобразование: =А.

Вектор (не равный нулю) называется собственным числом вектора

Теорема: Если -собственный вектор данного преобразования, то всякий не равный нулю коллинеарный ему вектор = будет также собственным вектором данного преобразования с тем же собственным числом.

Доказательство: -собственный вектор => А=. Пусть =. Тогда А=А()=А()==()=()=

А=

Пусть =А- на плоскости, имеющее два собственных вектора с собственными числами и .

Так как и -не коллинеарные, то примем их в качестве базиса. Найдем координатное представление л/пр в это базисе: =>

=> А^т=А => А.

Вывод: Если в качестве базиса приняты собственные векторы данного линейного преобразования, то матрица А этого преобразования получает диагональный вид, причем по диагонали располагаются собственные числа векторов .

В этом базисе л/прие представляется формулами:

Найдем все собственные векторы л/прие А, имеющего в некотором базисе координатное представление с матрицей А=

Пусть =(l;m)-искомый собственный вектор.

Тогда: =>

Для получения нулевых решений необходимо, чтобы

Уравнение =0 (2) называется характеристическим.

Вывод: Чтобы найти все собственные векторы линейного преобразования, нужно решить характеристическое уравнение (2); соответствующие числу собственные векторы находятся из системы (1).

Пример: Найти собственные векторы линейного преобразования:

А= Решение 1. Составляем уравнение =0 => (5-)²-16=0 => (5--4)(5-+4)=0 => (1-)(9-)=0 =1; =9