Математика \ Математический анализ

Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 8

Определение. Любая прямая, параллельная заданной прямой l и проходящая через заданную прямую L называется образующей.

Опр. Множество всех образующих составляет цилиндрическую поверхность, соответствующую кривой L.

Пример. - уравнение эллиптического цилиндра в пространстве.

-уравнение параболического цилиндра в пространстве.

Определение. Поверхность состоящая из прямых, проходящих через заданную вершину p и пересекающая заданную направляющую L, называется канонической поверхностью.

-уравнение эллиптического конуса.

1. Эллипсоиды. 2.Гиперболоиды.

а) Однополостный б) Двухполостный

3.Параболоиды. а) Эллиптический б) Гиперболический

Математический анализ.

Определение. Если каждому элементу по определённому правилу поставлен в соответствие элемент , то говорят, что задана функция , отображающая на : .

То множество значений аргумента , при котором выражение, задающее функцию, имеет смысл, называют областью её определения. Множество значений - область значений.

Пределы и их Свойства.

Определение. Число называется пределом функции при и обозначается если для любого сколь угодно малого существует такое число , в общем случае зависящее от выбора , что для всех будет выполняться неравенство , то есть

(2)

(3)

В дальнейшем все определения и доказательства будут даваться для случая , для всех же остальных случаев всё аналогично.

Пример. Доказать что

Решение. .

Итак:,что означает, что

Лекция № 16

Свойства пределов.

Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если её предел при равен нулю:

(3)

(4)

Определение. Функция называется ограниченной на бесконечности, если существует такое положительное число , что для всех выполняется равенство , т.е.

(5)

Теорема 1 Если функция имеет предел при ,то она ограничена на некотором бесконечном интервале

Теорема 2 Если функция имеет предел при , отличный от нуля, то функция ограничена при .

Следствие. Бесконечно-малая функция (при) ограничена (при).

Свойства бесконечно-малых функций.

Теорема 3 Если и являются функциями при , то и их сумма также являются функцией при .

Доказательство.

Выбираем .Тогдаи одновременно.

Имеем:- функция.

Следствие. Конечная сумма бесконечно- малых функций есть функция бесконечно малая.

Теорема 4. Произведение бесконечно- малой функции есть функция бесконечно- малая , т.е. .

Следствие. Так как любая .функция есть функцией ограниченной, то произведение двух . функций есть функция.

Следствие. Произведение функции на число есть функция .

Следствие. Произведение конечного числа функций есть функция .

Теорема 5. Частное от деления функции ,бесконечно-малой при , на функцию , предел которой отличен от нуля при , является функцией .

Основные теоремы о пределах.

Теорема 6. Если функция имеет предел (при), равный , то она может быть представлена в виде суммы этого предела и некоторой функции , то предел этой функции равен , т.е.

(6).

Доказательство.

где.

Теорема 7.(обратная) Если некоторая функция может быть представлена в виде суммы некоторого числа и функции , то предел этой функции равен , т.е.