Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 12

2. Если производная функции  на интервале  существует и отрицательна, то на этом интервале функция  будет убывающей, т. е.

                                             (6)

Доказательство: по теореме Логранжа  . Аналогично доказывается и условие (6).

Максимум и минимум функции.

Определение: дельта окрестностей точки  называется интервал  , где .

Определение: функция  имеет максимум в т. , если существует такая окрестность , что для всех точек этой окрестности за исключением точки  выполняется неравенство: , т. е.

 - т. максимума для \                   (8)

Определение: функция  имеет минимум в т. , если существует такая окрестность , что для всех точек этой окрестности за исключением точки  выполняется неравенство: , т. е.

 - т. минимума для \                    (9)

{т. максимума или т. минимума}т. extr.

Определение. Точки, в которых первая производная не существует или равна нулю называются критическими.

Теорема: Необходимый признак существования экстремума.

Если непрерывная на функция  имеет в некоторой точке  этого интервала экстремум, то эта точка  есть критическая для функции .

; -т. экстремума  - критическая точка                             (10)

Обратное утверждение не верно.

Теорема: достаточный признак существования экстремума.

1. Пусть т.  - критическая для функции . Если при переходе через эту критическую точку слева направо производная  будет менять свой знак с «+» на «-», то точка  есть точка максимума, а если с «-» на «+», то точка  есть точка минимума. Если знак производной не меняется, то в точке  экстремума нет.

Доказательство: а). 

б).  - точка максимума. Аналогично доказывается и для точки минимума.

2. Пусть в т.  первая производная равна нулю а вторая производная существует и отлична от нуля. Тогда, , таким образов в точке  будет максимум, если  - то минимум, т. е.

                           (11)

Доказательство: 1.

2. т.  - мах

3. Пусть ; ; . Если n-четное, то в точке  экстремум есть, причем точка максимума, если , и точка минимума, если . Если же  - нечетное, то в точке  экстремума нет.

Наибольшее  и наименьшее значение функции на отрезке

Непрерывная на отрезке  функция  будет достигать своего наибольшего и наименьшего значения или на границах этого отрезка, или же во внутренних критических точках.

Пример 1. Исследовать на экстремум функции. . Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума.

; ; ;  .

			1		3
			7/3		1
		+	0	-	0	+

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке  [-1; 2]. Решение: ;   ; .

Пример 3. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в данный прямой конус.

Решение:

1.   .

2. 

3. 

4. 

5.  ;  ;

6.  ; т.  - есть точка максимума.

Ответ: ;

Выпуклость и вогнутость

Определение: график дифференцируемой функции  называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой своей касательной, расположенной на этом интервале.

Определение: график дифференцируемой функции  называется вогнутым на интервале , если он расположен ниже любой своей касательной, распо­ложен­ной на этом интервале.

Определение: точки, в которых график меняет характер выпуклости, называются точками перегиба.

Определение: точки, в которых вторая производная равна нулю или вообще не существует, называются критическими точками II-го рода.

Теорема о достаточном признаке выпуклости и вогнутости. Пусть функция  имеет вторую производную  во всех точках интервала . Если во всех точках интервала , то график функции в этом интервале выпуклый, если же  - то вогнутый, т. е.

 - выпукла на