Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 4

 первые -уравнений линейно-независимы, а остальные  уравнений линейно выражаются через первые. Имеем систему:

  а) по формулам Крамера:

-единственное решение.

б).

-свободные переменные.  ,

 по формулам Крамера: ,

Имеем бесчисленное кол-во решений:

Что и требовалось доказать.

Лекция № 6.

Линейная однородная система n-уравнений с n неизвестными.

Опр. Если , то система называется однородной.

Эта система всегда совместна, т.к. по крайней мере одно тривиальное решение

,

Теорема.  Для того, чтобы однородная система имела нулевое решение, необходимо и

достаточно, чтобы главный определитель системы был равен нулю.

Д-во. а)Необходимость. Пусть система имеет нулевое решение. Докажем что в этом случае  Действительно, если допустить противное, т.е. , то по формулам Крамера: ,  Но , имеется только одно нулевое решение, что противоречит условию.

б) Достаточность. Пусть  Тогда  Кроме того, , т.к. последний столбец расширенной матрицы -нулевой. Имеем имеем бесчисленное кол-во решений, среди которых существуют и ненулевые.

Метод Гаусса, решения систем линейных уравнений.

------------------------------ разрыв страницы    à конец страницы 12          -------------

------------------------------ разрыв страницы    à начало страницы 17         -------------

Для пространства базис  Т.Аначало. Т.В конец вектора.

       

Направление вектора задается единичным  вектором , координатами которого служат направляющие косинусы.

Пример. Разделить отрезок М₁ М₂ , проходящий через т. М₁ (X₁, Y₁, Z₁) и М₂ (X₂, Y₂, Z₂) в заданном   Решение.

 1)

2)   =

 

В частности, если  (деление отрезка пополам, то

Скалярное произведение векторов.

Определение   Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.  

Свойства. 1) Скалярное произведение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно:

2) Скалярный квадрат вектора

равен квадрату его модуля.

3) Теорема  Для того чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярными,

необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. 

Достаточность.   

Выражение скалярного произведения через проекции перемноженных векторов.

  

Условие перпендикулярности двух векторов:

Угол между векторами:  

Физическое приложение. Если вектор изображает силу, точка приложения которой

перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством:  

Лекция № 8.

Векторное произведение и его Свойства.

Определение Векторным произведением вектора на вектор называют вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1)его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах  как на сторонах:

2) Вектор перпендикулярен площади , в которой лежат векторы сомножители.

(а значит   и самими векторами ): 

3) если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от вектора до вектора

осуществляется против часовой стрелки.

Свойства. 1) Векторное произведение не коммутативно:  .

2) Векторное произведение ассоциативно и дистрибутивно:

3)Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарными, необходимо 

и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

Доказательство.  1)Необходимость:  

2)Достаточность:    

Следствие.       .

Выражение векторного произведения через координаты векторов сомножителей.

         

 Заметим, что:

Условие каллинеарности векторов:

Физическое приложение. 1) Если вектор изображает силу, приложенную к точке а вектор  идет из некоторой точки О  в точку N, то вектор  представляет собой момент силы   относительно точки О.

2) Если  вектор угловой скорости,  радиус вектор произвольной точки N, то ее линейная скорость есть: 

Смешанное произведение векторов.

Определение Смешанным произведением трех векторов называют число, равное скалярному произведению вектора на вектор .

Имеем:1)