Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 2

;

Отв.

Лекция № 3.

Матрицы и действия над ними.

Определение Число строк и число столбцов матрицы А называют ее структурой и обозначают

а) квадратная матрица. Для нее определения понятие определителя . Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то такая матрица называется невырожденной, и вырожденной в противном случае.

б) вектор строки.

в) вектор столбца.

Определение Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую структуру

и состоят из соответственно равных элементов.

(1).

Определение Суммой двух матриц А и В, имеющих одинаковую структуру, называется матица С, имеющая такую же структуру, с элементами , равными суммам соответствующих

элементов матриц слагаемых.

(2).

Пример

Особую роль при сложении играет нулевая матрица 0:

Определение Матрица все элементы которой равны нулю, называются нулевой.

Нулевая матрица, будучи сложенной с произвольной матрицей, не изменяет эту матрицу.

Свойство. Операция сложения матриц обладает коммутативности и ассоциативности.

Определение Произведением матрицы А на число называют матрицу В той же структуры, что и матрица А с элементами, равными произведению соответствующих элементов матрицы А на число .

(3)

Теорема. Если определитель квадратной матрицы А равен ∆, то определитель матрицы В=aА будет равным aⁿ×∆, где n- порядок матрицы А.

Опр. Операция вычитания матриц А и В определяется как операция сложения матрицы А с предварительно умноженной на a= -1 матрицей В, т.е.

(4)

Умножение матриц.

Опр. Произведением вектор-строки А на вектор-столбец В называют число, равное сумме парных произведений соответствующих элементов А и В.

Опр. Произведением матрицы А размера на матрицу В размера

называют матрицу С размера , элемент С_ij которой равен произведению i-строки матрицы А на j-столбец матрицы В, т.е.

(5)

Из определения следует:

1) Умножать можно только такие матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк во второй.

2) Число строк результирующей матрицы С равно числу строк первой матрицы сомножителя А, а число столбцов равно числу столбцов второго сомножителя В.

Свойства: Произведение квадратных матриц ассоциативно, дистрибутивно, но не коммутативно, т.е. /ассоц./

/дистриб./

; /в общем случае не коммутативно./

Пример.

но А¹0; В¹0;

Особую роль при умножении матриц играет единичная матрица Е.

Опр. Единичной матрицей называют квадратную матрицу, у которой элементы, расположенные на главной диагонали, равны 1, а все остальные элементы 0.

Свойства: Умножение матрицы А с матрицей Е не изменяют матрицу А:

Если матрица А квадратная, то АЕ=ЕА=А.

Теорема (об определителе произведения квадратных матриц ).

Если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями /А/ и /В/, то определитель произведения АВ равен произведению определителей /А/×/В/ т.е., (6)