Математика \ Математический анализ

Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 10

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему это приращение приращению аргумента при условии, что приращение стремится к нулю:

(1)

Вывод: 1)Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени .

2)Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в этой точке.

(2)

Пример. Найти производную функции в точке .

Решение.

Определение. Если функция имеет производную в точке , то она называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема . Если функция -дифференцируемая в точке, то она в этой точке непрерывна.(обратно не верно)

Доказательство.

функция непрерывна в точке .

Пример обратного: в точке .

Свойства производной.

1). .

2).

Итак:

3).

Итак:

4).

Итак:

5). Итак:

6).

Производные основных элементарных функций.

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7). где

8).

9).

10).

11).Производные гиперболических функций.

??????

Лекция № 19.

Таблица производных основных функций.

Логарифмическое дифференцирования и дифференцирование неявно заданных функций.

1. Пр.

2. - неявно заданная функция. а) б)

Уравнение касательной и нормали к кривой.

:Опр. Нормалью к кривой в точке называют перпендикуляр к касательной, проведённый через точку касания.

Пример.

Лекция № 20.

Дифференциал функции и его Свойства.

Пример: ; ; - линейная часть.

Определение: говорят, что функция имеет дифференциал в точке х₀, если в этой точке ее приращение может быть записано в следующем виде:

(1)

где - главная часть приращения функции, линейная, относительно приращения ее аргумента. - бесконечно малая более высокого порядка, чем , т. е. (2)

Определение: в этом случае главная часть приращения функции, линейная относительно приращения своего аргумента, называется дифференциалом и обозначается , т. е. .

Теорема: Если функция имеет в точке дифференциал, то в этой точке функция дифференцируема.

Доказательство: .

Следствие:

Теорема: Если в некоторой точке функция дифференцируема, то в этой точке она имеет дифференциал.

Доказательство: , где

; где

- имеет дифференциал.

Пример: ; ; .

Вывод. Дифференциал независимой переменной равен ее приращению ; . .

Вывод: Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной.

Свойства:

; ; .

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

1) ; -независимая переменная.

2) , ; - независимая переменная, -промежуточный аргумент. ; .

Вывод – дифференциал функции не зависит от того, будет ли аргумент неизвестной переменной или же будет являться в свою очереди некоторой функцией новой переменной (свойство инвариантности формы I-го дифференциала).