Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 7

Задача: Через заданную точку  провести плоскость , перпендикулярную заданному вектору .

    (1) – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  перпендикулярно заданному вектору .

Вывод: Всякая плоскость описывается уравнением первой степени относительно текущих координат.

Обратно: Всякое уравнение I-ой степени относительно переменных, будет представлять в пространстве некоторую плоскость.

 (2) Пусть  Плоскость проходит через т. перпендикулярно вектору .

Уравнение (2) называют уравнением плоскости в общем виде.

Для построение плоскости удобно использовать уравнение плоскости в отрезках:  - уравнение плоскости в отрезках, где ; ; .

Пример 1. Составить уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки , , .

Решение.

1) 

2)  , где ; ;

3) 

4) 

 - уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Угол между плоскостями.

А)  - условие перпендикулярности двух плоскостей.

Б)   - условие параллельности двух плоскостей.

Пример №2. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку , параллельно заданной плоскости .

Решение.  

 - уравнение плоскости. Проходящей через заданную точку || заданной плоскости.

Пример №3. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку  перпендикулярно плоскостям .

;

;  - уравнение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно плоскостям  и .

Пример №4. Составить уравнение плоскости, проходящей через т.  и  перпендикулярно плоскости .

Решение. ;

  - уравнение плоскости, проходящей через т.  и  перпендикулярно к плоскости .

Расстояние от точки до плоскости.

,

1.  ;

2. 

3.  ;

Лекция №14.

Прямая в пространстве.

  - общее уравнение прямой.

Примечание. Для построения прямой, заданной общим уравнением, удобно использовать точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

Векторное уравнение прямой.

Определение. Вектор , указывающий направление прямой  в пространстве, называют ее направляющим вектором.

Задача. Через заданную точку  провести прямую  параллельно заданному вектору .

Решение.  ; , -параметр.   - векторное уравнение прямой в пространстве.

 - параметрическое уравнение прямой   - каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную т.  параллельно вектору .

Переход от канонического задания    

Переход от общего вида к каноническому:

1.  Имеем

2.  Находим одну из точек прямой , например точку пересечения с плоскостью :

 

3.  Находим направляющий вектор , в качестве  которого выбираем

 

4.  Записываем каноническое уравнение .

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

В качестве направляющего вектора  выбираем вектор . Имеем:  ; .

 - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Угол между прямыми.

Определяется углом между их направляющими векторами:

  

;

Условие .

Условие .

Прямая и плоскость в пространстве.

1.  Условие параллельности и перпендикулярности.

; ; .

А)

Б)

2.  Точка пересечения прямой с плоскостью

; .

 ; ; .

Пример №1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую  и точку .

Решение.

1.  Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую: .

2.  Подставим в полученное уравнение координаты т. :  .

3.  Подставляем найденное значение  в уравнение пучка:  .

Пример №2. Вычислить расстояние  от т. до прямой .

 (-3; -2; 8) (3; 2; -2) направляющий вектор

=; =S_---; S_---=

Имеем: -18+22-5=.

Пример 3. Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:

L₁: ; L₂:   

Решение. 1.Строим плоскость, проходящую через прямую l₁ параллельно прямой l₂.

П:=0. Ax+By+Cz+D=0 :П

2. Находим расстояние от т.  до плоскости П : ;

2-ой подход: 1.Находим объём параллелепипеда, построенного на векторах,и: V=

2.Находим площадь основания:

3.Имеем

Лекция № 15.

Поверхности второго порядка.