Задача: Через заданную точку провести плоскость , перпендикулярную заданному вектору .
(1) – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .
Вывод: Всякая плоскость описывается уравнением первой степени относительно текущих координат.
Обратно: Всякое уравнение I-ой степени относительно переменных, будет представлять в пространстве некоторую плоскость.
(2) Пусть Плоскость проходит через т. перпендикулярно вектору .
Уравнение (2) называют уравнением плоскости в общем виде.
Для построение плоскости удобно использовать уравнение плоскости в отрезках: - уравнение плоскости в отрезках, где ; ; .
Пример 1. Составить уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки , , .
Решение.
1)
2) , где ; ;
3)
4)
- уравнение плоскости, проходящей через три точки.
А) - условие перпендикулярности двух плоскостей.
Б) - условие параллельности двух плоскостей.
Пример №2. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку , параллельно заданной плоскости .
Решение.
- уравнение плоскости. Проходящей через заданную точку || заданной плоскости.
Пример №3. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно плоскостям .
;
; - уравнение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно плоскостям и .
Пример №4. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. и перпендикулярно плоскости .
Решение. ;
- уравнение плоскости, проходящей через т. и перпендикулярно к плоскости .
,
1. ;
2.
3. ;
- общее уравнение прямой.
Примечание. Для построения прямой, заданной общим уравнением, удобно использовать точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.
Определение. Вектор , указывающий направление прямой в пространстве, называют ее направляющим вектором.
Задача. Через заданную точку провести прямую параллельно заданному вектору .
Решение. ; , -параметр. - векторное уравнение прямой в пространстве.
- параметрическое уравнение прямой - каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную т. параллельно вектору .
Переход от канонического задания
Переход от общего вида к каноническому:
1. Имеем
2. Находим одну из точек прямой , например точку пересечения с плоскостью :
3. Находим направляющий вектор , в качестве которого выбираем
4. Записываем каноническое уравнение .
В качестве направляющего вектора выбираем вектор . Имеем: ; .
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Определяется углом между их направляющими векторами:
;
Условие .
Условие .
1. Условие параллельности и перпендикулярности.
; ; .
А)
Б)
2. Точка пересечения прямой с плоскостью
; .
; ; .
Пример №1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку .
Решение.
1. Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую: .
2. Подставим в полученное уравнение координаты т. : .
3. Подставляем найденное значение в уравнение пучка: .
Пример №2. Вычислить расстояние от т. до прямой .
(-3; -2; 8) (3; 2; -2) направляющий вектор
=; =S---; S---=
Имеем: -18+22-5=.
Пример 3. Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:
L1: ; L2:
Решение. 1.Строим плоскость, проходящую через прямую l1 параллельно прямой l2.
П:=0. Ax+By+Cz+D=0 :П
2. Находим расстояние от т. до плоскости П : ;
2-ой подход: 1.Находим объём параллелепипеда, построенного на векторах,и: V=
2.Находим площадь основания:
3.Имеем
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.