Задача:
Через заданную точку провести плоскость
, перпендикулярную заданному вектору
.
(1) – уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку
перпендикулярно заданному
вектору
.
Вывод: Всякая плоскость описывается уравнением первой степени относительно текущих координат.
Обратно: Всякое уравнение I-ой степени относительно переменных, будет представлять в пространстве некоторую плоскость.
(2)
Пусть
Плоскость проходит
через т.
перпендикулярно вектору
.
Уравнение (2) называют уравнением плоскости в общем виде.
Для
построение плоскости удобно использовать уравнение плоскости в отрезках: - уравнение плоскости в отрезках, где
;
;
.
Пример
1. Составить уравнение плоскости , проходящей через три
заданные точки
,
,
.
Решение.
1)
2)
, где
;
;
3)
4)
- уравнение
плоскости, проходящей через три точки.
А) - условие перпендикулярности двух плоскостей.
Б)
- условие
параллельности двух плоскостей.
Пример
№2. Составить уравнение плоскости , проходящей через
заданную точку
, параллельно заданной плоскости
.
Решение.
- уравнение плоскости. Проходящей через
заданную точку || заданной
плоскости.
Пример №3. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку
перпендикулярно плоскостям
.
;
;
- уравнение плоскости, проходящей через т.
перпендикулярно плоскостям
и
.
Пример
№4. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. и
перпендикулярно плоскости
.
Решение.
;
- уравнение
плоскости, проходящей через т.
и
перпендикулярно к плоскости
.
,
1.
;
2.
3.
;
- общее уравнение прямой.
Примечание. Для построения прямой, заданной общим уравнением, удобно использовать точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.
Определение.
Вектор , указывающий направление прямой
в пространстве, называют ее направляющим
вектором.
Задача.
Через заданную точку провести прямую
параллельно заданному вектору
.
Решение.
;
,
-параметр.
- векторное уравнение прямой в
пространстве.
- параметрическое уравнение прямой
-
каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную т.
параллельно вектору
.
Переход
от канонического задания
Переход от общего вида к каноническому:
1.
Имеем
2.
Находим одну из точек прямой , например точку пересечения с плоскостью
:
3.
Находим направляющий вектор , в качестве которого выбираем
4.
Записываем каноническое уравнение .
В качестве направляющего вектора выбираем вектор
.
Имеем:
;
.
- уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки.
Определяется углом между их направляющими векторами:
;
Условие .
Условие .
1. Условие параллельности и перпендикулярности.
;
;
.
А)
Б)
2.
Точка пересечения прямой с
плоскостью
;
.
;
;
.
Пример
№1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и
точку
.
Решение.
1.
Запишем уравнение пучка
плоскостей, проходящих через данную прямую: .
2.
Подставим в полученное уравнение
координаты т. :
.
3.
Подставляем найденное значение в уравнение пучка:
.
Пример
№2. Вычислить расстояние от т.
до прямой
.
(-3; -2; 8)
(3; 2; -2) направляющий
вектор
=
;
=S---; S---=
Имеем: -18
+22
-5
=
.
Пример 3. Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:
L1: ; L2:
Решение. 1.Строим плоскость, проходящую через прямую l1 параллельно прямой l2.
П:=0.
Ax+By+Cz+D=0
:П
2. Находим расстояние от т. до плоскости П :
;
2-ой подход: 1.Находим объём параллелепипеда,
построенного на векторах,
и
: V=
2.Находим площадь
основания:
3.Имеем
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.