Примеры решения задач по механике

Страницы работы

Содержание работы

природы   – является интегралом движения и представляет полную энергию осциллятора.

3.2.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

          ЗАДАЧА 1. Вертикальный цилиндр, имеющий поперечные сечения

S = 80 см2 закрывается поршнем массы  М = 1 кг. Объем цилиндра под поршнем  V0 = 5 л. В начальный момент времени давление Р0 воздуха в цилиндре равнялось атмосферному. Каким будет закон движения поршня, если его сразу отпустить? Трение между поршнем и цилиндром отсутствует. Сжатие и расширение воздуха в цилиндре считать адиабатическим, смещение поршня – малым (рис.3.2.1)

ДАНО:

S = 80 см2

М = 1 кг

V0 = 5 л

м/с2

СИ

 м2

  м3

          АНАЛИЗ. Задача на динамику гармонических колебаний воздуха в цилиндре поршня при его малых перемещениях под действием двух сил: силы тяжести и переменной по закону адиабаты силы давления.

          РЕШЕНИЕ. При смещении столба газа на величину у возникает сила , где  – адиабатическое изменение давления. В результате на поршень кроме силы тяжести , направленной  вдоль выбранной нами оси у, действует сила

                                 ,                          (3.2.6)

направленная в сторону, противоположную движению.

(рис.3.2.1). Уравнение движения поршня имеет вид , а в проекции на ось оу:

               .                     (3.2.7)

Сила Архимеда в данной задаче не учитывается вследствие малости. Задача сводится к определению адиабатического изменения давления . Запишем уравнение адиабаты

                                                  (3.2.8)

где v - объем газа,  (i – число степеней свободы). Для воздуха (двухатомный газ) 

i = 5, и g = 7/5. Чтобы найти изменение давления , продифференцируем (3.2.8): , отсюда . Для конечных изменений давления  и объема  с учетом начальных условий: t = 0,

P = P0,, имеем:

                                                                                           (3.2.9)

Похожие материалы

Информация о работе