Примеры решения задач по механике, страница 3

  относительно положения равновесия . Период колебаний поршня ,   с.

          ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 2.Показать, что частота колебаний двух масс m и М, связанных пружиной жесткости k , равна частоте колебаний одной эквивалентной массы m (выразить через величины m и М), колеблющейся на пружине той же жесткости. Изобразить движение в виде развертки во времени, векторной диаграммы и на фазовой плоскости. (М > m) (рис.3.2.2).

действует по модулю одна и та же сила: , где х – удлинение пружины. Система, образованная телами предполагается замкнутой (силы трения отсутствуют), и центр масс этой системы покоится. Поместим начало координат в центр масс С, тогда ,

отсюда                                            Мх₁ = – тх₂,                                              (3.2.19)

где х₁ – перемещение массы М и х₂ – перемещение массы т происходят в противофазе. Удлинение пружины в системе центра масс х = х₁ – х₂. Учитывая (3.2.19), получим, что перемещение массы М равно , а массы т равно  и имеет противоположный знак.

          Уравнения движения обеих масс имеют вид , . После  подстановки выражений для х₁ и х₂имеем: ,

.

Получим два тождественных уравнения колебания, имеющих вид:

, т.е. . Поскольку,

 ,обозначим , тогда уравнение колебаний перепишется в виде

                                                         .                                              (3.2.20)

Выражение (3.2.20) соответствует уравнению (3.2.1), если

                                                  .                                (3.2.21)

          Решение дифференциального линейного однородного уравнения (3.2.20) является гармоническая функция вида , где w₀ определяется из равенства (3.2.21). Выражение (3.2.21) можно представить в виде , если считать, что  или . Величина m для колебательного осциллятора называется эквивалентной (приведенной) массой.