Примеры решения задач по механике, страница 2

Учтем, что , или , где у₀  – начальная высота столба воздуха, т.е. смещение поршня можно считать малым. Подставим  в равенство (3.2.9) и получим       

                                                                                             (3.2.10)

Найдем силу , действующую на поршень за счет адиабатического изменения давления, используя равенства (3.2.6) и (3.2.10):

                      (3.2.11)

Сила в формуле (3.2.11) пропорциональна смещению у и направлена в сторону противоположную смещению у (квазиупругая сила), причем .

Подставим значение  из формулы (3.2.11) в уравнение движения поршня (3.2.7)

;    .                        (3.2.12)

Уравнение (3.2.12) – уравнение колебаний. Это дифференциальное линейное уравнение с постоянными коэффициентами, неоднородное. Его решение складывается из суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:

.                                      (3.2.13)

Положительная величина  обозначена . Учитывая величину к из равенства (3.2.12), получим         .                               (3.2.14)

Для решения однородного уравнения (3.2.13) составим характеристическое уравнение ; корни этого уравнения  – мнимые. Решение уравнения (3.2.13) можно представить в тригонометрической форме

,                                     (3.2.15)

где А и a – постоянные, определяемые из начальных условий, w₀ – частота колебаний поршня, которая рассчитывается из формулы (3.2.14).

          Частные решения неоднородного уравнения (3.2.12) получим, если учтем, что при нахождении поршня в положении равновесия а = 0, , и (3.2.7) имеет вид , т.е.          .                                    (3.2.16)

Решение неоднородного уравнения (3.2.12) получим путем сложения решений (3.2.15) и (3.2.16):            .                                (3.2.17)

Для определения А и a используем начальные условия: t = 0, у = 0,  (начальная скорость равна нулю). Подставим: t = 0, у = 0 в решение (3.2.17):                                  .                                   (3.2.18)

Продифференцируем (3.2.17) по времени: и используем начальные условия t = 0, V = 0. Получим , т.е. a = 0. В равенство (3.2.18) подставим cosa = cos0 =1, тогда . Найденные величины А и a  подставим в решение (3.2.17):  – нашли закон колебаний поршня. Поршень совершает гармонические колебания с частотой: