Примеры решения задач по механике, страница 6

. Учтем, что  , где r_Ж – плотность жидкости, – объем шарика.

          Закон динамики (3.2.24) вращательного движения в векторной форме имеет вид:

                                                      .                                                (3.2.25)

          Вектор углового ускорения  связан с направлением вращения тела правилом правого винта и в данной задаче направлен  по оси Оx. Закон (3.2.25) в проекциях на ось Оx запишется:

                                                        –+.                      (3.2.26)

Учтем, что ,  – масса шарика; – плотность шарика, тогда (3.2.26) преобразуется так

, ,отсюда           .

Обозначим , тогда (3.2.26) примет вид: . Обозначив существенно положительную величину  через , определим частоту колебаний    

                                                    .                                     (3.2.27)

          Записав уравнение (3.2.26) в виде , получим уравнение колебаний (3.2.1). Решением этого дифференциального линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами будет гармоническая функция , где частота колебаний  определяется из равенства (3.2.27), А и a – из начальных условий.

          Период малых колебаний шарика в жидкости с.  Период колебаний в жидкости в  раз превышает период колебаний в вакууме.

          ОТВЕТ: с.

          ЗАДАЧА 5. Тонкий однородный стержень длины м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии x = 20 см от его середины. Определить период колебаний стержня, если максимальный угол отклонения от положения равновесия j < 8⁰ . Как зависит период колебаний Т стержня от расстояния x? Построить график примерной зависимости Т (x). Найти, при каком значении x период имеет минимальную величину.