Примеры решения задач по механике, страница 12

          В точке А потенциальная энергия шарика максимальна (DВ = h), кинетическая равна нулю. В точке В потенциальная полностью переходит в кинетическую энергию, которая достигает максимальной  величины

                                                .                                      (3.2.45)

          Значение V_max определим из выражения (3.2.43): . Подставим значение V_max в (3.2.45), получим  ,

                                                                                        (3.2.46)

Выразим величину h через радиус кривизны R. Из треугольника АDО по теореме Пифагора имеем R² = a² + (R - h)²,  a²= 2Rh - h².  Получим квадратное уравнение относительно h:   h²– 2R h - a²= 0. Корни уравнения . Корень дает значение h₂ > R, что в данной задаче не имеет физического смысла. Корень подставим в выражение (3.2.46):    =, отсюда

.

Радиус кривизны поверхности , тогда

 .

          ОТВЕТ: .

          ЗАДАЧА 10. Найти частоту свободных колебаний электрона в атоме водорода , считая, что положительный  его заряд сосредоточен в объеме радиусом r =10^-15 м, а электронный заряд q распределен по сфере с боровским радиусом а = 5×10^-12 м. Принять, что плотность электронного заряда внутри указанной сферы  постоянна.

 сферы радиуса а, внутри которой согласно классическим предположениям равномерно распределен заряд с объемной плотностью r. (см. рис.3.2.11.).

Смещаясь из центра 0, ядро оказывается в точке, напряженность электрического поля которой можно найти из теоремы Гаусса для области, когда  r < a: 

                                                                                     (3.2.47)

,   на поверхности сферы радиуса r, и тогда (3.2.47) примет вид: , где . В результате имеем  (см. рис.3.2.11). Таким образом, на электрон в поле ядра действует сила , т.е.  – квазиупругая сила, пропорциональная смещению r и направленная в сторону равновесия.