Примеры решения задач по механике

природы   – является интегралом движения и представляет полную энергию осциллятора.

3.2.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

          ЗАДАЧА 1. Вертикальный цилиндр, имеющий поперечные сечения

S = 80 см² закрывается поршнем массы  М = 1 кг. Объем цилиндра под поршнем  V₀ = 5 л. В начальный момент времени давление Р₀ воздуха в цилиндре равнялось атмосферному. Каким будет закон движения поршня, если его сразу отпустить? Трение между поршнем и цилиндром отсутствует. Сжатие и расширение воздуха в цилиндре считать адиабатическим, смещение поршня – малым (рис.3.2.1)

(рис.3.2.1). Уравнение движения поршня имеет вид , а в проекции на ось оу:

               .                     (3.2.7)

Сила Архимеда в данной задаче не учитывается вследствие малости. Задача сводится к определению адиабатического изменения давления . Запишем уравнение адиабаты

                                                  (3.2.8)

где v - объем газа,  (i – число степеней свободы). Для воздуха (двухатомный газ) 

i = 5, и g = 7/5. Чтобы найти изменение давления , продифференцируем (3.2.8): , отсюда . Для конечных изменений давления  и объема  с учетом начальных условий: t = 0,

P = P₀,, имеем: , 

                                                                                           (3.2.9)