Физика (Часть 1): Учебно-практическое пособие, страница 16

Конкретный вид этой  функции зависит от характера силового поля.Так для поля тяготения Земли выражение потенциальной энергии имеет вид

 E_n = mgh,

где m – масса тела, g - ускорение

свободного падения.Знак потенциальной энергии может быть (+) или (-) в зависимости от выбора начала отсчета высоты h (рис.10). Работа консервативных сил при элементарном

(бесконечно малом  ) перемещении dr равна приращению  потенциальной   энергии, взятому    со знаком “минус”, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.                                       δА= - dE_п

Известно, что  δА = Fdr,  следовательно, можно записать

Fdr  = – dE_п.

Отсюда потенциальная энергия    E_п(r)  будет 

E_п(r) = – ∫ Fdr+ С,

где С-  постоянная интегрирования.  Из  выражения    Fdr = – dE_n  видно, что   для  консервативных сил их связь с  потенциальной  энергией  будет иметь вид

F_x= – ∂E_п / ∂x;   F_y= - ∂E_п / ∂y;   F_z= - ∂E_п / ∂z ,

 или в векторном   виде F = – grad E_п , где grad  ·i+ ·j+ ·k.

Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела. Сила упругости пропорциональна деформации x

                   F_{x  упр}  = – kx,

где  F_{x  упр}  - проекция силы упругости на  ось  x;   k –коэффициент  упругости;  x  – деформация. По  третьему закону  Ньютона  деформирующая  сила  F_x равна

F_x  = –F_{x  упр}  = kx.

Элементарная  работа    δА , совершаемая силой F_x  ,равна δА = F_x  dx = kx dx,

а полная  работа    идет   на  увеличение  потенциальной энергии пружины.  Таким образом, потенциальная энергия  упруго деформированного тела  E_п = kx² / 2.

Полная механическая энергия   системы Е –  есть   энергия механического движения   Е_к  и  энергия взаимодействия  Е_п    (потенциальная энергия)

Е = Е_к + Е_п.

Так, тело, находящееся на высоте  h  над поверхностью Земли и движущееся  со   скоростью  v, обладает полной   механической  энергией Е ,   равной

.

При  движении тел системы кинетическая энергия Е_к может превращаться  в потенциальную Е_п и наоборот. Пусть  в  замкнутой  системе Земля-тело  поднятое на   высоту h  тело массой  m   обладает потенциальной энергией     E_п = mgh   и  начинает свободно падать.  У поверхности Земли  его скорость будет равна    и оно приобретает кинетическую энергию

.

У поверхности Земли   (h = 0) потенциальная энергия окажется равной нулю. Таким образом, потенциальная энергия превращается  в эквивалентное количество кинетической  энергии.  Обратное превращение происходит в  случае,  если   тело   брошено  вертикально вверх  с  некоторой скоростью v. По  достижении  телом  высоты h, которая определится из условия v =  , cкорость тела будет  равна  нулю  и  кинетическая  энергия  mv² / 2 превратится  в потенциальную энергию mgh. При  этом полная  энергия  тела остается   неизменной.  Такой переход   энергии  возможен  при условии, что тело находится  под действием    только силы, обуславливающей  наличие  потенциальной энергии  (сила  mg есть  внутренняя  сила в системе    Земля-тело).  При наличии  внешних  сил   (в  случае   незамкнутой  системы тел) изменение полной энергии будет  происходить  за счет работы, совершаемой этими   силами.