Моделирование систем на микроуровне: Методические указания к выполнению курсовой работы, страница 6

        (1.73)

При структурном представлении распределенный объект с передаточной функцией W(x,ξ,p), входное воздействие которого описывается выражением (1.73), можно представить в виде рис.1.6.

Перенесем сумматор через звено с передаточной функцией W(x,ξ,p) (рис.1.7). На рис.1.7 введены обозначения:

;                                                         (1.74)

;                                       (1.75)

.   (1.76)

Рис.1.6 – Структурное представление распределенного блока

Рис.1.7 – Преобразование структурного представления объекта

Выражение (1.75) используется для второй и третьей краевой задачи, а (1.76) - для первой краевой задачи.

Таким образом, в трех случаях из пяти удается упростить структурное представление распределенного блока, используя понятие передаточной функции х-блока.

В результате получим представление согласно рис.1.8.

Рис.1.8 – Представление распределенного объекта с передаточными

   функциями х-блока

Выходную распределенную величину тогда можно найти следующим образом:

   (1.77)

Необходимо подчеркнуть, что сказанное применимо для случая, когда входной воздействие может быть представлено согласно выражению (1.68). В противном случае, когда используется входное воздействие в виде распределенного управления φ(ξ) при фиксированном характере изменения во времени (ступенчатое или импульсное), переход к х-блоку не осуществляется и выполняются преобразования аналогично начальным распределениям Q₀(ξ) и Q₁(ξ).

Все слагаемые стандартизирующей функции также условно можно разбить на управляющие и возмущающие. В первом случае могут рассматривать входные (внутренние) или граничные управления, а во втором – начальные распределения и прочие внешние возмущения, не используемые в качестве управляющих воздействий. Поэтому можно в аналогии с ССП судить о передаточной функции по управлению и передаточной функции по возмущению.

В практических случаях часто формулируются задачи, когда отдельными слагаемыми в стандартизирующей функции можно пренебречь в силу равенства нулю входного воздействия, начальных или граничных условий. Тогда существенно упрощается и структурное представление ОРП.

2 Основные уравнения математической физики

2.1 Уравнения поперечных колебаний струны

Рассмотрим струну длиной l, которая в положении равновесия находится вдоль оси Ох. Ее поперечные колебания в каждый момент времени t для каждой точки х (0≤х≤l) характеризуется вектором смещения Q(x,t) и описывается уравнением вида:

,                                                         (2.1)

где     а – волновая скорость, м/с;

          f(x,t) – удельная сила (сила, действующая на единицу массы струны), м/с².

          Волновая скорость определяется согласно выражению:

,                                                                                                (2.2)

где     Т₀ – сила натяжения струны, Н;

          ρ – линейная плотность (масса, приходящаяся на единицу длины струны), кг/м.

          Удельная сила, в свою очередь, может быть представлена в виде:

,                                                                                  (2.3)

где     g(x,t) – линейная плотность внешней силы, Н/м.

          Если внешней силы нет f(x,t)=0, получаем уравнение свободных колебаний струны:

.                                                                   (2.4)

Для выбора начальных условий к данной задаче необходимо задать:

– профиль начальных смещений струны:

;                                                                                      (2.5)

– профиль начальных скоростей:

.                                                                                    (2.6)

Также необходимо задать граничные условия (условия на концах струны).

1) Если концы струны закреплены, то имеем следующие граничные условия:

;                                                                                  (2.7)

.                                                                                  (2.8)

2) Если концы струны свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения Q(x,t), то граничные условия имеют вид:

;                                                                               (2.9)

.                                                                              (2.10)

3) Если концы струны закреплены упруго, т.е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направленное противоположно ему, то ГУ:

;                                                             (2.11)

,                                                              (2.12)

где     h=k/T₀;

          k – коэффициент упругости упругого закрепления концов струны.

4) Если концы струны двигаются в поперечном направлении по заданным законам, то ГУ:

;                                                                          (2.13)

,                                                                          (2.14)

где     μ₁(t), μ₂(t)  - определяют закон движения концов.

Пример 1.

Движение струны, натянутой и закрепленной в двух точках на расстоянии l, начинается посредством смещения струны в положение у(х)=a·sin(πx/l), из которого струну отпускают в момент времени t=0. Сформулировать краевую задачу для данного условия.

Функция Q(x,t), описывающая поперечные смещения струны определяется уравнением:

.

Поскольку концы струны закреплены, имеем граничные условия вида (2.7), (2.8):

; .                                                              Начальные условия представляются в виде:

;   

.                                                                                       

Пример 2.

Сформулировать краевую задачу о колебаниях однородной струны (0<x<l), закрепленной на концах, под действием внешней непрерывно распределенной силы с плотностью g(x,t)=Asin(ωt), где ω≠(kπa/t) (k=1,2…). Начальные условия нулевые.

Функция Q(x,t), описывающая колебания струны определяется уравнением:

,

где     .