Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 6

Приведённые таблицы для GF(2) и GF(22) подтверждают выполнение всех аксиом поля, в том числе единственность единичных и обратных элементов. Кроме того, можно сделать вывод, что расширенное поле содержит основное поле. Как для основного поля 2=0, так и для расширенного поля π(α)=1+α+α2=0, т.е. α является корнем π(x)=1+x+x2.Вторым корнем π(x) является  1+α..Это можно проверить прямой подстановкой. Очевидно, что 1+ α= α2. Значит, все ненулевые элементы GF(22) есть степени корня π(x). Поэтому говорят, что расширение поля образуется присоединением корней π(x) к основному полю.

1.2. Группа, подгруппа и смежные классы.

Подмножество H элементов группы G, удовлетворяющее всем групповым аксиомам называется подгруппой.

Обозначим элементы группы G через g1, g2, g3, ….., а подгруппы через h1, h2, h3….. Рассмотрим следующую таблицу. Первая строка состоит из элементов подгруппы H, взятых по одному разу, с единичным элементом в начале строки. Первым элементом второй строки может быть любой элемент G, не вошедший в первую строку, а все остальные элементы получаются применением групповой операции (например, сложения) первого элемента второй строки с элементами подгруппы. Аналогично образуются последующие строки, каждая с неиспользованным прежде элементом группы в начале строки, до тех пор пока все элементы G не войдут в таблицу:

h1=0,

h2,

h3,

…..,

hl

g1,

g1+h2,

g1+h3,

…..,

G1+hl

g2,

g2+h2,

g2+h3,

…..,

G2+ hl

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

-----

gm,

gm+h2,

gm+h3,

…..,

gm+hl