Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 20

Все ненулевые элементы  GF(2m)  являются корнями  Х-1 -1.

Важно уметь сопоставлять совокупности элементов GF(q), в частном случае GF(2m), с корнями неприводимых сомножителей Хq-1-1 (в двоичном случае с корнями  Х-1-1, ровно как и с корнями  Хn-1 при произвольном n).

При выявлении сомножителей Хn-1 полезны следующие свойства, характеризующие связи между элементами GF(q) и многочленами, являющимися делителями  Хn-1.

Свойство 1. Наличие в двучлене Хn-1 сомножителей вида Хm-1, где m<n.

Пусть n=m×d, где n, m и d-целые положительные числа. Рассмотрим двучлен Уd-1.Очевидно, при У=1 обращается в нуль и 1 является корнем Уd-1.Тогда по теореме Безу Уd-1 делится на У-1.Положим, что У=Хm.Тогда, очевидно, Хmd-1 делится на Хm-1.Таким образом, справедливо следующее:

Многочлен Хn-1 делится на многочлен Хm-1, если m делит n.

Свойство 2. Поля Галуа GF(pm), образованные классами вычетов многочленов по модулю примитивного неприводимого над полем GF(p) многочлена π(x) степени m, называют полями характеристики р при любом выборе m.В поле GF(p) элемент p=0.

         В поле характеристики p для любых чисел a и b справедлива биноминальная теорема:

                            (a+b)p    = a+ Cap-1b + Cap-2b2 +…+ bp,

где Cip-биноминальные коэффициенты, вычисляемые по формуле: