Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 58

4.3.2. Найти корни многочлена х²+х+1.

Решение:

Решение предыдущей задачи показало, что х²+х+1 входит в разложение х³+1. По теореме Ферма корни х³+1 являются элементами поля GF(2²).

Найдём циклотомический класс , по модулю 3: С₁₍₃₎={1,2}.

Следовательно х²+х+1 имеет корнями элементы α и α² поля GF(2²).

Напомним состав поля GF(2) по модулю π(α)=1+α+α²:

0=00,

1= α⁰=10= α³ ,

α¹=01,

α²=11.

Таким образом корнями f(x)= х²+х+1 являются последовательности (01) и (11).

Действительно: 11+01+10=00, т.е. f(x=α)=0 и 01+11+10=00, т.е. f(x= α²)=0.

4.3.3. Построить многочлен f(x) второй степени над полем GF(2), корнями которого являются элементы α¹=(10) и α²=(11) поля GF(2²).

В соответствии с теоремой Безу: f(x)=(x+α¹)(x+α²)=x²+α²x+α¹x+α³=x²+(α¹+α²)x+α³=x²+x+1, т.к. α¹+α²=(01)+(11)=(10)=α⁰=1, α³=1 (см. задачу 4.3.2).

Обратить внимание на то, что многочлен, неприводимый над полем GF(2), разлагается на сомножители над полем GF(2²), т.е. над полем своих корней.

  Найти все неприводимые многочлены степени 3 над полем GF(2).

Решение:

Перечислим все многочлены степени 3 с коэффициентами из двоичного поля: х³+х²+х+1, х³+х²+х, х³+х²+1, х³+х+1, х³+1, х³+х, х³+х², х³.

Второй и четыре последних многочлена явно не могут быть неприводимыми, т.к. имеют известные сомножители. Осталось проверить первый, третий и четвёртый многочлены. Для проверки достаточно убедиться, что проверяемый многочлен не имеет в качестве сомножителя х+1, т.е. «1» не должна быть корнем проверяемого многочлена. Непосредственной подстановкой проверяем.

Для х³+х²+х+1: 1³+1²+1+1=0, т.е. этот многочлен имеет сомножителем х+1, и, действительно,