Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 21

Поэтому справедливо:

В поле характеристики p имеет место равенство (a+b)p = ap+bp.

Свойство 3.Пусть многочлен f(x)=a0+a1x+...+amxm  степени m неприводим в

поле GF(p). Рассмотрим (f(x))p.

По предыдущему свойству:

(f(x))p = (а0)p+(a1x1)+...+(amxm)p=

= a0p+a1p(xp)+...+amp(xp)m=

= a0+a1(xp)+...+am(xp)m = f(xp).

Этот результат получен в силу того, что для любого элемента ai  из GF(p)  справедливо: aip-1 = 1 и aip = ai.

Пусть β - корень f(x), тогда f(β) = 0.

В силу полученного результата (f(β))p = f(βp) = 0, т.е. для любого корня β многочлена f(x) справедливо утверждение, что βp также является корнем f(x). Так как неприводимый многочлен f(x) степени m имеет всего m корней и один из его корней есть β, то m степеней β от р0=1до pm-1 являются корнями f(x), т. е. справедливо:

Если f(x) - многочлен степени m с коэффициентами из поля GF(p), неприводимый в этом поле, и β – корень f(x), то β, βp…, βр – все корни f(x).

Свойство 4. Прямым следствием из свойства 3 является следующее:

Все корни неприводимого многочлена имеют один и тот же порядок.

Для доказательства этого свойства предположим, что корнями некоторого неприводимого многочлена f(x) степени m является β, имеющий порядок e и β, имеющий порядок l. Тогда (β)e= (βe)=1 и поэтому e делится на l. Аналогично, βl = (β)l   =((β)l)=1=1,  так что l делится на e.            .Поскольку e и l - целые положительные числа, βто e = l, что и доказывает свойство 4.