Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 25

f1(x)=(x+ α) )(x+ α2) )(x+ α4) )(x+ α8),

f7(x)= (x+ α7)(x+ α11)(x+ α13) )(x+ α14).

Анализ многочленов  f1(x)  и f7(x)  будет выполнен ниже.

Свойство 7. Анализ неприводимых многочленов,входящих в разложение Х, имеющих корни среди элементов GF(24) показывает, что степени всех неприводимых многочленов : 1, 2, 4 является делителями числа 4. Обобщим этот результат следующими рассуждениями.

   Пусть f(х)- неприводимый сомножитель степени d ≤ m многочлена Х-Х и пусть β элемент порядка pd-1  поля GF(pm), являющийся примитивным элементом подполя GF(pd) поля GF(pm), принадлежит циклической группе GF(pm) порядка pm-1.Следовательно pd-1 делит pm-1, а это возможно только в том случае, когда d делит m. Значит справедливо:

Для простого числа р многочлен  х-х  равен произведению всех нормированных неприводимых над GF(p) многочленов, степени которых делят m.

Свойство 8.Аналогичные рассуждения приводят к следующему утверждению:

Для любого поля GF(q), где q –степень простого числа, имеет место равенство: х-х  равно произведению всех нормированных неприводимых над GF(q) многочленов, степени которых делят m.

Свойство 9.

                            Рассмотрим подробнее многочлены над GF(2):

                   f1(x) = (x+α)(x+α2)(x+α4)(x+α8),