Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 14

Пусть f(x)=g(x)h(x), где h(x)-многочлен степени к, а f(x)  имеет степень n.

Многочлены вида  x0g(x),x1g(x),..., x к-1g(x) линейно независимы и принадлежат идеалу, а их линейная комбинация

                         s(x) = (a0 x0+…+ак-1 xк-1) g(x),                                                          где аi – элемент основного поля, отлична от нуля, так как имеет степень, меньшую n, и также принадлежит идеалу. Значит,

идеал, порождённый многочленом g(x) степени n-k, являющийся делителем f(x) степени n, в кольце многочленов по модулю f(x) имеет размерность, равную k.

Пример1.3.1.  Рассмотрим кольцо многочленов по модулю  f(x) = x3+1= =(x+1)(x2+x+1). Это кольцо содержит следующие классы вычетов :{0}, {1},{x} {1+x}, {x2}, {1+x2}, {x+x2}, {1+x+x2} или {000}, {100}, {010}, {110}, {001}, {101}, {011}, {111} .В данном кольце возможно два идеала:

I1, порождённый {x+1}; общий вид элемента идеала:

{(a0 x0+a1 x1)(x+1)}; размерность 2;при подстановке ai=0 или 1 имеем {0}, {1+x}, {1+x2}, {x+x2} или {000}, {110}, {101} и {011}.

I2, порожденный {x2+x+1}. Размерность 1. Включает классы вычетов {0} и {1+x+x2} или {000} и {111} в двоичном представлении.

1.4.Поля Галуа. Мультипликативная группа поля Галуа.

В §1.1было дано аксиоматическое определение поля, введены понятия и приведены примеры простого и расширенного поля.

Обобщением сказанного в §1.1 и §1.3 являются следующие определения:

1.Для простых полей:

Кольцо классов вычетов по модулю m является полем тогда и только тогда , когда m – простое число.

2.Для расширенных полей:

Кольцо многочленов по модулю некоторого неприводимого в поле GF(p)

многочлена π(x) степени m является полем GF(pm).