Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 32

    Как и ранее подстрочный индекс в скобках в обозначении циклотомического класса указывает модуль n_j≤ n, по которому найдены последовательности корней, отображаемых числами, входящими в циклотомический класс, а число перед ним – образующий циклотомического класса.  

    Минимальное число nj в обозначении циклотомического класса данного набора корней равно показателю, которому принадлежит многочлен с данными корнями, т.е. прядку этих корней.

Заметим, что неприводимый многочлен, соответствующий некоторому циклотомическому классу, является минимальным многочленом для корней, отображаемых этим циклотомическим классом.

Таким образом, разложение Хⁿ-1 на неприводимые сомножители сводится к поиску минимальных многочленов для корней Хⁿ-1.

             Число корней,имеющих порядок е, определяется функцией Эйлера φ(е).

Если s- число, указывающее  первый подстрочный индекс в обозначении циклотомического класса, то при модуле n = 2^m-1 порядок корней циклотомического класса определяется следующим выражением:

Проиллюстрируем все отмеченное рассмотрением следующего примера.

Пример2.4.1. Разложим Х⁶³-1 на неприводимые сомножители над двоичным полем.

            В соответствии с теоремой Ферма над полем GF(2)

                  X⁶³+1 = , где  αⁱGF(2⁶),

Таким образом, поиск неприводимых сомножителей Х⁶³+1 сводится к распределению элементов  поля GF(2⁶)  αⁱ по неприводимым сомножителям Х⁶³+1 в соответствии с циклотомическими классами по модулю 63 и синтезу минимальных многочленов, соответствующих каждому циклотомическому классу.

                            Выполним эту работу:

                     С₀₍₆₃₎ = {0},