Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 59

х32+х+1=(х+1)(х2+1)=(х+1)3

Для х32+1: 13+12+1=1.

Для х3+х+1: 13+1+1=1.

Т.к. многочлен третей степени может содержать в качестве сомножителей только многочлены первой или второй и первой степеней, то делаем вывод, что многочлены х32+1 и х3+х+1 являются неприводимыми.

Ко всему они являются двойственными, т.к. х3-3-1+1)=1+х23.

4.3.5. Определить, к какому показателю принадлежат многочлены х3+х+1 и х32+1.

Решение:

По своей степени эти многочлены могут входить в разложение двучлена х+1=х7+1.

Достаточно проверить принадлежность к показателю 7 одного из них, например, х3+х+1.

Полагаем: х3=х+1,

                  х42+х,

                  х5322+х+1,

                  х632+х=х2+1,

                  х73+х=х+1+х=1.

Этим доказана принадлежность х3+х+1 и х32+1 к показателю 7. А это в свою очередь означает, что корни этих многочленов примитивные. Действительно, найдём функцию Эйлера от числа 7: φ(7)=6, т.е. среди ненулевых элементов поля GF(23) шесть элементов являются примитивными – это все ненулевые элементы, исключая α0=1, а именно α1, α2, α3, α4, α5, α6. Они распределяются по 2-м циклотомическим классам: С1(7)={1,2,4},  С3(7)={3,6,5}

При этом α1, α2 и α4 – корни х3+х+1, а α3, α5, α6 – корни х32+1. Проверить это можно прямой подстановкой.

4.3.6.Проверить применением теоремы Безу справедливость найденных в разделе 2.1  неприводимых сомножителей х15+1. Использовать результаты решения задач 3.2.13 и 4.2.8.