Основы информатики и вычислительной техники: Учебно-практическое пособие, страница 14

                                                           (1.38)

Спектральная плотность представляет собой четную неотрицательную функцию частоты. Это обстоятельство дает возможность использовать на практике видоизмененные зависимости

                                                             (1.39)

                                                             (1.40)

Из приведенных выше  взаимных преобразований Фурье следует:

                                 (1.41)

где f - частота, Гц

Аналогично значение спектральной плотности на нулевой частоте определяется как

                                                                     (1.42)

Из приведенных формул следует, что для стационарных случайных процессов имеет место равенство

                                 (1.43)

Одной из общих характеристик случайных сигналов является ширина их энергетического спектра, определяемая отношением

                                         (1.44)

Практически при моделировании различных стохастических систем средствами вычислительной техники часто возникает необходимость в специальных приборах - генераторах для получения реальных моделей случайных сигналов, имеющих заданные статистические характеристики – одномерную плотность вероятности и спектральную плотность (корреляционную функцию).

В связи с трудностями создания «специализированных» генераторов, воспроизводящих случайные сигналы с заданными статистическими характеристиками, обычно создают генераторы, воспроизводящие «типовые» случайные сигналы, а с помощью линейных и нелинейных преобразований обеспечивают получение случайных сигналов с заданными статистическими характеристиками.

Типовым принято считать случайный сигнал с одномерной плотностью вероятностей, подчиняющейся нормальному закону и со спектральной плотностью, постоянной в некотором диапазоне частот.

Выбор для типового случайного сигнала нормального закона распределения обусловлен тем, что этот закон наиболее широко встречается при анализе реальных систем, его проще всего воспроизводить и преобразовывать. Одномерная плотность вероятностей случайного сигнала и его спектральная плотность взаимосвязаны. При преобразовании одной из этих характеристик обычно изменяется и другая. Одним из наиболее важных исключений из этого правила является прохождение сигнала, имеющего нормальное распределение, через линейный фильтр. При этом закон распределения остается нормальным, а его спектральная плотность изменяется. Это свойство сигнала, имеющего нормальное распределение и используется в случае необходимости изменения его спектральной плотности.

Выбор для типового случайного сигнала характеристики спектральной плотности, постоянной в заданном диапазоне частот (белый шум) также обусловлен тем, что такой случайный сигнал может быть использован при анализе многих реальных систем, удобен при математическом описании стохастических задач; в то же время из такого сигнала могут быть получены случайные сигналы с различными спектральными характеристиками

Таким образом задача получения случайного сигнала Z(t), имеющего заданную спектральную плотность и одномерную плотность вероятности практически сводится к последовательному преобразованию типового сигнала x(t) генератора белого шума в 2 этапа:

1. получение на выходе линейного фильтра случайного сигнала y(t) с заданной спектральной плотностью и нормальным законам распределения;

2. получение на выходе нелинейного преобразователя случайного сигнала Z(t) с заданной одномерной плотностью вероятностей и полученной на 1-м этапе спектральной плотностью (рис.1.9).