Кинематика сплошной среды. Способы изучения движения деформируемых сред. Перемещение деформируемого тела, страница 8

Поскольку    является решением первого уравнения (2.26), то последнее равенство тождественно равно нулю при любых направляющих косинусах  Последнее возможно только при условии  Тем самым попутно получено доказательство отсутствия деформаций сдвига, см. (2.21') между линейным элементом, получающим экстремальную деформацию, и любым другим перпендикулярным к нему элементом.

На основании (2.29) в рассматриваемой системе координат определитель системы однородных уравнений (2.26) запишется в виде

Раскрывая этот определитель получим уравнение

                               (2.30) или 

                          (2.30')

Уравнение (2.30) вещественны. Следовательно, в каждой точке тела всегда можно указать три направления, в которых относительные линейные деформации принимают экстремальные значения. Эти деформации носят название главных деформаций, а корни уравнения (2.27) называются главными компонентами тензора деформаций. Главные деформации и главные компоненты тензора деформаций обозначаются соответственно:

2.6.2. Главные оси деформации

Направления, соответствующие главным деформациям носят название главных осей деформации. Направляющие косинусы, определяющие направления главных осей деформации,, находятся из уравнения (2.26) путём подстановки в него поочерёдно главных компонентов тензора деформаций.

Покажем, что главные оси деформации ортогональны друг к другу. Если  определяет направление , а - направление , то из уравнения (2.26) имеем:

Умножим первое равенство на , а второе на  и просуммируем их по :

Нетрудно убедиться в равенстве между собой левых частей последних равенств. Поменяв немые индексы суммирования левой части первого равенства местами, получим   а так как  то  Поэтому при вычитании второго равенства из первого получим

Так как в общем случае  то  откуда и следует ортогональность главных осей деформации  и , см. (2.19). Аналогично доказывается ортогональность всех главных осей деформации.

Несколько выше было доказано отсутствие деформаций сдвига между линейным элементом, получающим экстремальную деформацию, и любым другим элементом перпендикулярным к первому. Отсюда следует, что в каждой точке тела до деформации могут быть указаны три таких взаимно перпендикулярных направления, которые и после деформации остаются взаимно перпендикулярными. После деформации эти направления совпадают с главными осями деформации.

2.6.3. Главные деформации

Значение главных компонентов тензора деформаций  находятся путём решения кубического уравнения (2.27). После чего легко определяются главные деформации. Совместив координатные оси с главными осями, по формуле (2.12) найдём значения главных деформаций

                                              (2.31)

2.6.4. Виды деформированного состояния в точке

В зависимости от числа главных компонентов тензора деформаций, отличных от нуля, различают три вида деформированного состояния в точке:

одноосное или линейное, когда отличаются от нуля одна главная компонента

плоское, когда две главных компоненты отличны от нуля

пространственное или объёмное, когда ни одна из главных компонент не равна нулю

В общем случае в различных точках одного и того же сплошного тела могут быть  все три вида деформированного состояния – в каждой точке своё.

2.7. Инварианты тензора деформаций

Вернёмся к уравнению (2.27), определяющему главные компоненты тензора деформаций. Поскольку деформация сплошного тела не зависит от принятой системы координат, то независимыми от координатной системы будут и главные компоненты тензора деформаций. Но последнее возможно только в том случае, когда коэффициенты уравнения (2.27)  также не зависят от выбора координатной системы. Эти коэффициенты, определяемые выражениями (2.28), носят названия инвариантов тензора деформаций, соответственно первым, вторым и третьим инвариантам.