Кинематика сплошной среды. Способы изучения движения деформируемых сред. Перемещение деформируемого тела, страница 14

При выводе всех соотношений настоящей главы предполагалось однозначность и непрерывность перемещений и всех их частных производных до третьего порядка включительно. Тем самым применимость полученных уравнений и соотношений ограничена однородными телами с непрерывной неоднородностью, удовлетворяющей принятым предположениям. Для неоднородных тел, изготовленных из различных материалов, частные производные от функций перемещений могут иметь разрывы первого рода, которые образуют границы, разделяющие тело на отдельные области. В пределах каждой области имеет место полное удовлетворение принятых предположений. Поэтому полученные уравнения и соотношения полностью применимы для описания деформированного состояния внутренних частей каждой такой области. На границах этих областей должны выполнятся условия неразрывности перемещений, поскольку в противном случае нарушается целостность тела. Условие неразрывности перемещений могут быть записаны в виде:

,                                                       (2.69) где индексами  и  обозначены две соприкасающиеся области тела.

2.12. Приращение и скорости деформаций

2.12.1. Приращение деформаций

В теории пластичности и ползучести широкое применение находят приращения деформаций и скорости их изменения, которые приобретают бесконечно малые объёмы сплошного тела  за бесконечно малый промежуток времени dt в любой фиксированный момент времени t. Скорость изменения перемещений сплошного тела в любой его точке при использовании лагранжевых координат равна:

,                                                      (2.70)

где представляют собой приращения перемещений за бесконечно малый промежуток времени, . Очевидно, что приращения перемещений и их частные производные  являются бесконечно малыми величинами, так как величины  и  конечны, а dt  – бесконечно мала.

За приращение компонентов тензора деформаций принимается их изменения, связанные с бесконечно малыми деформациями, которые приобретает сплошное тело за бесконечно малый промежуток времени. Подставляя в уравнение (2.9) вместо производных перемещений производные от их приращений, получим

.                                  (2.71) 

Обратим внимание на то, что приращение компонентов деформаций  не являются дифференциалами , и не могут быть получены формальным дифференцированием уравнения (2.9). Нелинейные слагаемые в (2.71) являются бесконечно малыми величинами высшего порядка малости, вследствие чего приращения компонентов деформации приводятся к форме:

.                                            (2.72)

На основании определения скорости перемещений (2.70) равенство (2.72) может быть записано в виде:

                                               (2.73)

По аналогии с интенсивностью деформаций (2.49) вводится понятие интенсивности приращений деформаций 

 (2.74)

и интенсивность приращения пластических деформаций

,  (2.75)  где   компоненты тензора приращений пластических деформаций. В сокращенной форме, с использованием тензорной символики, интенсивности приращений деформации (2.74) и (2.75) записываются в виде:

,                          (2.76) где  . Точно так же вводится интенсивность приращения деформаций ползучести .

2.12.2. Скорости деформаций

Определив скорости изменения компонентов тензора деформаций равенством

,                                                         (2.77)

где – приращение компонентов тензора деформаций (2.72), выразим их с помощью (2.73) через скорости изменения перемещений

.                                                  (2.78)

Формула (2.78) определяет тензор скорости деформаций.

По аналогии с интенсивностями деформаций и приращений деформаций  можно определить интенсивность скоростей деформаций

     (2.79) 

или в сокращенной форме, с использованием тензорной символики

                                        (2.80)

где

.