Кинематика сплошной среды. Способы изучения движения деформируемых сред. Перемещение деформируемого тела, страница 3

(2.3)

Отсюда следует, что точки сплошного тела, лежащие в момент времени t>t₀ на прямых, которые параллельны координатным линиям пространственной системы координат, в недеформированном теле будут принадлежать кривым линиям. Для определения последних достаточно в момент времени t зафиксировать две любые координаты и решить систему уравнений (2.3) при t = t₀. Например, примем Тогда три уравнения, определяющие в пространственной системе координат кривую линию, на которой до деформации располагались точки тела, находящиеся в момент времени t на прямой, параллельной координатной оси Х₁:

(2.4)

Отсюда следует, что координаты линии определяют в теле до деформации те кривые, которые в момент времени t образуют прямые, параллельные осям декартовой системы координат Х_i.В разные моменты времени прямые, параллельные координатным осям, содержат различные точки тела. Эйлеровы координаты определяют точки пространства. В этом их коренное отличие от лагранжевых координат x_i, которые определяют конкретные точки деформируемого тела.

Оба способа описания движения сплошных тел: способ Лагранжа и способ Эйлера с математической точки зрения равноценны. Описав движение в переменных Лагранжа, можно перейти к описанию движения в переменных Эйлера или наоборот. При этом следует иметь ввиду, что любая часть деформируемого тела, которая будет заключена в правильную фигуру в одной системе координат, в другой системе координат может оказаться заключённой в неправильной фигуре. Например, элементарный тетраэдр записанный в эйлеровойт системе координат в момент времени t>t₀ как правильная фигура, три грани которой параллельны координатным плоскостям, в лагранжевой системе координат в момент времени t₀ исказит свою форму, углы между гранями и ориентацию в пространстве. В механике сплошных сред находят применение и способ Эйлера, и способ Лагранжа.

Способ Эйлера используется в основном при исследовании движения жидких и газообразных сред. Это объясняется тем, что форма и движение краевых поверхностей жидкости и газа обычно известны и искомыми величинами являются не перемещения частиц, а их скорости. В скоростях обычно формируются и краевые условия. Всё это позволяет не следить за перемещениями отдельных точек среды, а интересоваться лишь распределением скоростей в пространстве. Наиболее подходящей для этого системой координат является эйлерова система с координатами .

В механике твёрдого деформируемого тела более предпочтительным является способ Лагранжа. Это объясняется тем, что краевые условия в механике деформируемого твёрдого тела задаются на краевых поверхностях, форма которых зависит от искомых величин. При использовании лагранжевых координат уравнения краевых поверхностей тела в деформируемом теле сохраняют такой же вид, как и в недеформированном состоянии. Это существенным образом упрощает постановку краевых задач механики деформируемого твёрдого тела. По этой причине дальнейшее изложение материала ведётся с использованием лагранжевых координат х_i.

2.2. Относительная линейная деформация

Исследуем в условиях деформации сплошного тела изменение длины линейного элемента в какой – то точке М по произвольному направлению, которое в недеформированном состоянии зададим бесконечно близкой точкой N. Пусть точка M имеет координаты x_i, тогда бесконечно близкая к ней точка w будет иметь координаты В результате деформации точка М переместится в положение с координатами а точка N в точку с координатами