Теория дискретных систем автоматического управления: Учебное пособие. Часть IV: Нелинейные системы, страница 7

Покажем, что этот предел равен нулю. В самом деле, пусть а > 0. Тогда последовательность значений {х[п]} не стремится к нулю при п оо и существует область h, куда изображающая точка не попадает. Отсюда следует, что Щх[п]) > 0 для всех п > по. Тогда < — nl' < 0 для достаточно больших значений п. Но это противоречит условию, ибо по условию Цх[п]) 0. Следовательно, сл = 0. Тогда и lim x[nl = 0, что и доказывает теорему.

Достаточные услоВПТеустойчивости тривиального решения задаются следующей теоремой.

Теорема 2.3. Если существует такая непрерывная функция V(Xl,..., хк), удовлетворяющая условию V(O) 0, первая разность которой в силу системы уравнений (2.1) является знакоопределенной функцией, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых функция принимает значения одинакового знака с первой разностью то тривиальное решение системы уравнений (2.10) неустойчиво.

Доказательство. Пусть множество точек х, удовлетворяющих неравенству lfx[nlll < Н, является областью знакоопределенности первой разности  Покажем, что для любого малого числа 5 > 0 всегда найдется такое решение x[nl системы уравнений (2.1), что, несмотря на выполнение в начальный момент по неравенства х[по <б, в момент времени будет иметь место неравенство х[П11 > Е. Выберем г = Н и для определенности положим, что пер-

вая разность Д Цх[п]) является определенно-положительной функцией. Начальную точку x[nol выберем так, чтобы выполнялось неравенство  > 0. По условию теоремы такой выбор начальной точки всегда возможен. Рассмотрим решение х[п] системы уравнений (2.1), удовлетворяющее выбранному начальному условию. Первая разность  -- определенно-положительная функция, поэтому вдоль решения х[п] функция возрастает:

> при п > по. Отсюда следует, что решение х[п] не приближается к началу координат, поэтому существует такое чис26

ло > 0, что            ос >0. Функция  — определенно-положительная, поэтому в области, задаваемой неравенствами а

Н, выполняется неравенство  Покажем, что существует такой момент > по, для которого llxl/11 lll = Н. Действительно, пусть для всех значений п > по выполняется неравенство < Н. Из формулы

                                 = + рот -1 - по) i=no

следует, что функция неограниченно возрастает при п Ф. Получено противоречие, так как из неравенства < Н следует ограниченность функции Теорема доказана.

2.3. Исследование устойчивости по уравнениям линейного приближения

Выделив в уравнениях (2.1) линейную часть, получим

К

      Xi[n + 1] = ЕРЈХЈ[П] + (Pi(X1         , хк[п]) (i К), (2.8)

или в векторной форме              + 1] = Рх[п] +

Предположим теперь, что система уравнений (2.8) имеет тривиальное решение x[nl 0. Это означает, что имеют место равенства

                                         (Pi(0,  (i                    К).                                (2.9)

Выполним исследование устойчивости тривиального решения систелы уравнений (2.8). Линейная система разностных уравнений

к

                             хј[п + = EPijXj[n] (1                   (2.10)

называется системой линейного приближения для системы уравнений (2.8). В дальнейшем рассматриваются такие системы разностных уравнений вида (2.8), для которых нелинейные члены (Pi(X1, хк) имеют более высокий порядок малости, чем т. е. справедливы равенства

lim(2.11)

27

Теорема 2.4. Если все характеристические числа матрицы Р расположены внутри единичного круга, т. е. имеют место неравенства liil (i = 1, 2,..., К) , то тривиальное решение системы уравнений (2.8) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Для упрощения доказательства теоремы рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет только простые корни. Однако теорема справедлива и в случае кратных корней характеристического уравнения. Если все характеристические числа матрицы Р простые, то существует такая невырожденная матрица Т, что т-1 рт = л, где

диагональная форма матрицы Р (см., например, [1, т. 1, с. 77-791).

Выполним замену переменных: