Теория дискретных систем автоматического управления: Учебное пособие. Часть IV: Нелинейные системы, страница 12

Рассмотрим установившийся периодический режим без постоянной составляющей, обладающей четным периодом М 2N. Изучаем свободное движение системы, т. е. внешние воздействия отсутствуют. В основе метода гармонической линеаризации для нелинейных дискретных систем лежит предположение о гармоническом изменении дискретной функции л(пТо) на выходе непрерывной части системы. Так как нелинейный элемент реагирует только на значения выходной величины в дискретные моменты времени, то в дальнейшем будем оперировать только ими.

Считаем, что дискретная частотная характеристика и^д (Д) такова, что в интервале частот О б л она пропускает только первую гармонику дискретной функции (п То), а остальные гармониюа подавляет:

(3.1)

т. е. частотная характеристика удовлетворяет гипотезе фильтра. Тогда периодический ремам, определяемый дискретной функцией о(пТ0), будет близок к гармоническому. Это позволяет искать его в виде

                                                      (3.2)

41

т. е. позволяет пренебречь высшими гармониками на входе нелинейного импульсного элемента. При фиксированном значении полупериода л^т параметры периодического режима (амплитуда А и фаза (Р) могут быть определены из характеристического уравнения гармонически линеаризованной системы.

3.1. Коэффициенты гармонической јшнеаризации

Пусть на вход нелинейного элемента подается гармоническая дискретная функция (3.2). Тогда выходная величина

                                    u[nl = Q Acos                            (3.3)

нелинейного элемента будет периодической дискретной функцией.

В соответствии с методом гармонического анализа для получения дискретного коэффициента гармонической линеаризации выходной периодический сигнал (3.3) представляется в частотной форме.

Рассмотрим разложение дискретной функции в ряд, аналогичный ряду Фурье. Это разложение используется при изучении периодических процессов в нелинейных импульсных системах автоматического регулирования. Запишем периодическую дискретную функцию ll[nl с периодом М, равным целому числу:

                                                                             (3.4)

где К              ± 1, ± 2

Величину б = — назовем частотой периодической дискретной м функции и[п]. Для периодической дискретной функции справедливо разложение, аналогичное ряду Фурье:

                                Е (ак cosk6n + bk sink6n).                (3.5)

2

Число слагаемых л^т равно целой части от числа МД,

если М четно,

(3.6)

, если М нечетно.

42

Равенство (3.6) можно рассматривать как систему М алгебраических уравнений при п = О, 1, М— 1 относительно 2N+ 1 неизвестных ао, щ, ..., алт, bl, ..., bN . Если М— нечетно, то по условию (3.6) М = 2N + 1 и, следовательно, число уравнений совпадает с числом неизвестных. Если М четно, то М = 2N и число уравнений на единицу меньше числа неизвестных. Однако в этом случае 2л л

         Следовательно, sinN оп = sinN—n               для всех п, поэтому система уравнений (3.5) в данном случае не содержит неизвестного bN. Таким образом, в обоих случаях число уравнений совпадает с числом неизвестных, которые можно определить, если известны М последовательных значений дискретной функции

Зная, что е ^ЈФ = cos + jsinp, разложение (3.5) можно записать в виде

Е скеЈКсоп ак — jbk где склэ; со                     2                                            2 Если М четно, то

(3.7) (3.8)

2

Для того чтобы найти коэффициенты разложения ск, умножим обе части. равенства (3.7) на функцию е— Лоп, где — целое число, изменяющееся от —N до N, и просуммируем по п в пределах от 0

Изменяя порядок суммирования в правой части, получаем

Поскольку б =          то при К        справедливо равенство

м

43