Теория дискретных систем автоматического управления: Учебное пособие. Часть IV: Нелинейные системы, страница 6

исследование устойчивости решения (2.3) можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения. При замене (2.5) система уравнений (2.1) примет вид

                                                               ^или                 + =                   (2.6)

где

Очевидно, что g(0) = 0, т. е. система уравнений (2.6) имеет тривиальное решение у[п] = 0. Если решение х = системы (2.1) устойчиво или асимптотически устойчиво, то будет соответственно устойчивым или асимптотически устойчивым и тривиальное решение системы уравнений (2.6). Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться устойчивость только тривиального решения.

2.2. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости

Введем некоторые новые понятия. Функция V(Xl,. , хк ) называется знакоположительной (знакоотрицательной) в некоторой области G фазового пространства Х, если эта функция удовлетворяет неравенству V(Xl ,..., (V(X1,..., х к ) S 0) для всех точек этой области.

функция v(x1, ..., хк) называется опреДеленно-положительной (опреДеленно-отрицательной) в области G, если для всех точек области, кроме начала координат, справедливо неравенство v(x1,..., хк) > 0 (V(Xl,..., хк) < 0), а в начале координат, т. е. при

х1 = ... = хк = 0, функция V(Xl,..., хк) = 0. Функции первого типа называются таюке знакопостоянными, функции второго типа знакоопреДеленными.

Первой разностью функции V(Xl, ..., хк ), взятой в силу системы уравнений (2.1), называется функция д И(м,..., хк) = [п + 1], ...

= V(fl (Ч [п]

24

                                       -V(Xl [п]                               (2.7)

Следующая теорема определяет условия устойчивости тривиального решения системы разностных уравнений (2.1).

Теорема 2.1. Если в некоторой окрестности начала координат существует знакоопределенная функция v(x1 , х к ), такая, что ее первая разность в силу системы уравнений (2.1) является знакопостоянной функцией противоположного знака, то тривиальное решение системы (2.1) устойчиво.

Доказательство. Пусть область G существования знакоопределенной функции v(x1,..., хк), удовлетворяющей условию теоремы, определяется неравенством llxll ' Н. Обозначим

 = inf Их).

Таким образом, для всех точек с$ДрЁ1 ll х ll Е функция Их) Ы. Выберем теперь такое число б > 0, чтобы сфера ll х ll = Е целиком лежала внутри области (71, для которой V(x) < . В силу свойств функции Их) такое б всегда существует. Далее выберем начальное значение x[nol = хо таким образом, чтобы выполнялось неравенство хоп < б. Тогда для любого п > по будет иметь место неравенство < Е, что и означает устойчивость тривиального решения. В самом деле, первая разность функции будет д =          + 11) - причем функция W(x) знакоположительная. Тогда

i=no

Отсюда следует, что  < 1 и траектория не достигает границы овала Их) = l, а следовательно, и границы сферы llxll = е.

Это означает, что тривиальное решение х[п] = 0 устойчиво.

Рассмотрим теперь теорему об асимптотической устойчивости. Теорема 2.2. Если в некоторой окрестности начала координат существует знакоопределенная функция v(x1,..., хк), первая разность которой в силу системы уравнений (2.1) является знакоопределенной функцией противоположного знака, то тривиальное решение системы (2.1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Прежде всего отметим, что в силу предыдущей теоремы тривиальное решение системы уравнений (2.1) будет устойчивым. Пусть функция V(x) положительно-определенная. Тогда по условию теоремы ее первая разность в силу системы уравнений (2.1) будет отрицательно-определенной функцией, т. е,

25

=        + 1] ) —           =  причем функция W(x) положительно-определенная. Поэтому имеют место неравенства V(x[n + 13) <       < ... <  Отсюда следует, что функция Цх[п]) при п   образует монотонно убывающую последовательность, ограниченную снизу, ибо Цх[п]) 0. Всякая монотонно убывающая, ограниченная снизу последовательность имеет предел, поэтому существует lim      = а.

П 00