Теория дискретных систем автоматического управления: Учебное пособие. Часть IV: Нелинейные системы, страница 5

[п] = е ^хп cosnn , Z2[n] =С2е ^тп cosnn, где т = lnlrl. Исключив из этих равенств время п, получим уравнение фазовых кривых

(2 = С-2 COS 7trexpcr

Если Н <1, то lim Ч [п] = lim [п] = 0.

                                                                 00                     П ОО

Состояние равновесия называется устойчивым вырожденным узлом

2-го типа.

Если Д > 1, то состояние равновесия представляет собой неустоЙЧИВЫЙ вырожденный узел 2-го типа. Фазовые траектории для устойчивого и неустойчивого вырожденных узлов 2-го типа показаны на рис. 19.

Пример. Построим фазовый портрет дискретной системы, структурная схема которой изображена на рис. 20. Передаточная функция разомкнутой системы

где d = е-P р = Т[71, Т — период квантования, 7'l — постоянная времени непрерывной части. Тогда передаточная функция замкнугой системы

19

Рис. 20

Разностное уравнение замкнутой системы имеет вид + 2] + + [К (1 — ф — 1— + 1] + dx[n] = g[nl. Характеристическое уравнение будет r ² + [К(1 — ф —1 — dlr + d 0. Для устойчивости системы требуется выполнение неравенства 0 < К к: Кри-

20 + ф тическое значение коэффициента усиления к кр — —— при значениях параметров системы Т = 1 с, 7'l = 0,25 с будет Ккр = 2,0733. Построим фазовый портрет системы при К = 1. Корни характеристического уравнения 11,2 = 0,018 ± ј0,133 и у = lrl = 0,1343 <1. Состояние равновесия представляет собой устойчивый фокус. Фазовые траектории изображены на рис. 21. Теперь построим фазовый портрет при К = 4 > Ккр. Для этого значения коэффициента усиления корни характеристического уравнения r1 - -2,9083, = —0,0062. Состояние равновесия представляет собой седло 2-го типа (седло-розетка). Фазовые траектории приведены на рис. 22.

                   477+1]                                    

                      Рис. 21                                                         Рис. 22

22

2.  АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

2.1. Основные понятия и определения

Пусть дискретная система описывается системой разностных уравнений

                        [П + 1] = fi(X1 [П]К).                 (2.1)

Правые части уравнений (2.1) полагаются однозначными, непрерывными функциями переменных п, М,        х . Тогда для любых заданных начальных условий ш, ..., = хко    (2.2)

существует и притом единственное решение системы уравнений (2.1), удовлетворяющее этим начальным условиям. Систему уравнений (2.1) можно записать в векторной форме где х[п]

Начальные условия (2.2) примут вид х[по] = х

Введем определения. Пусть

                                                                                       (2.3)

является некоторым решением системы (2.1), удовлетворяющим начальным условиям е [по] = хо          (2.4)

Решение (2.3) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого Е > 0 существует такое число б зависящее от Е, что для любого другого решения х = Ап], удовлетворяющего в начальный момент времени п неравенству е [по] — р < 5, будет справедливо неравенство [п] — р < е для всех п по .

Решение (2.3) называется неустойчивым по Ляпунову, если существует такое число Е > 0, что для любого числа б > О найдется такой момент времени > по, что будет справедливо неравенство ll [111] — р [щ Е, несмотря на то, что имело место неравенство

Решение (2.3) называется асимптотически устойчивым, если: 1) это решение устойчиво; 2) существует такое число А 0, что для

23

любого решения х = р [п], удовлетворяющего при п по неравенству ll [по] — <А, будет справедливо lim [п] — р [п]

П 00

Движение, соответствующее решению х = е [п], обычно называют невозмущенным Движением. Другие решения х = p[nl, которые могут быть получены при изменении начальных условий, соответствуют возмущенным движениям. С помощью замены переменных

                                                                                (2.5)