Методы оптимизации композиционных систем, страница 5

параметров, часто находящихся в противоречии друг с другом. С увеличением размерности пространства переменных, как правило, возрастают объем вычислений и сложность алгоритмов, а также затрудняется анализ поведения целевой функции.

3.1. Основные понятия линейной алгебры

Будем рассматривать функции многих переменных f(x)~ f(x_lt...₉x_n) как функции, заданные в точках х «-мерного евклидова пространства Е„ : / = /О). Точки х е Е„ представлены векторами-столбцами координат x = (x_],...,xj ("7" - знак транспонирования). Перечислим основные определения и понятия из курса линейной алгебры, которые будут использованы в дальнейшем.

В пространстве Е_п возможны операции:

-  сложения х + у = (xj +      х_н + у_п);

-  умножения на действительное число ;а-(Х\'_1;...,/а"„)Де/е;

я

-  скалярного произведения (х, у) = 2^х_}y_s ;

-  определение длины (нормы) вектора х

-  вычисления расстояния между векторами х и у

V ./=1

-     для норм произвольных векторов х,у е Е„ справедливо неравенство треугольника ii- . _vl!<|UU!Ul

lb

-   скалярное произведение оценивают по модулю неравенством Коши-Буняковского

IMN4IHI.

Основные понятия, связанные с числовыми матрицами.

Матрица А = \ftg\i = 1,...,т: / = !,...,« представляет собой прямоугольный массив чисел, состоящий из m строк и п столбцов. Таким образом, вектор-столбец х является матрицей х_п1.

a_2i;a₂₂;...;a_2tl

Матрица А¹ = (#,,), которая получается из матрицы А = {а_и), если поменять местами ее строки и столбцы, называется транспонированной по отношению к матрицей.

Квадратная матрица А называется симметрической, если А^Т = А. Матрицы одинакового размера А - (а_&) и £=(&») можно складывать: А+В = {а_{. +Ь_и).

Результатом умножения матрицы А на число X является матрица: ЯА - уЦ_у).

Произведением Ах матрицы А = щ) размером m х п на вектор-столбец х 6 Е_п называется вектор-столбец ЬеЕ_П1, координаты которого вычисляют по формуле

./=1

где а' ={a_n,...,a_lnf - вектор коэффициентов z-й строки матрицы А.

Для матриц A-{fly) и B = (h_kl) соответственно размером /;? х п и п х т определено произведение АВ — С — {с_а), где элемент са матрицы С размером m х г находят из равенства

17

II

(х,у)^х⁷ -у = (х_и...,х„)

Уп

Заметим, что для х и у е Е„ произведение х • у задает квад-ратную матрицу

	х1			• ад
	...
			-	- -ад

Если ,4 - квадратная симметрическая матрица размером п х я, то для любых векторов х и yeE_tl (Ах, у) - {х, Ау), так как

{Ас, .у) = (Л*У> = х'А'у = Уф = {.г, ф).

Каждой квадратной матрице размером п х п можно поставить в соответствие число - определитель матрицы А (обозначается del А или \А\), которое находят по формуле

и

delA = \A\ = Y*^aA =1

где A-,j - алгебраическое дополнение элемента а$ определяется соотношением

4,.=(-1ГХ>

где /Цу - минор, т.е. определитель матрицы, полученный из матрицы А вычеркиванием г'-й строки и /-го столбца.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее опре-цсли гель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

ле

А.

(X:

^u   del А    ⁹

где Ар - алгебраическое дополнение элемента а_у, матрицы А. Пусть А ~ \а_&) - симметрическая матрица размером п х п. То-

я    п гда функция п переменных h_},...,h_fh Q.(h)=J^_ja_ljh_ih_l. = (Ah₇h)

Ы   jml