Промышленность \ Физикохимия и механика композиционных материалов

Методы оптимизации композиционных систем, страница 16

in

тахф*,...Д„)=Ес* •

Но по теореме для регулярных позиномов

in

т.е., если g(xl,...yxll) - регулярный позином, то т

Важно, что этот результат распространяется и на произвольные позиномы.

7.3. Теорема двойственности

Из теоремы двойственности следует, что задача минимизации ..озинома g(x],...,xll) равносильна решению двойственной задачи.

Теорема 7.2 (теорема двойственности)

а) Если позином (7.1) достигает в области xt > О своего наименьшего значения g0, то двойственная функция (7.4) на множестве А положительных решений системы (7.7) достигает своего наибольшего значения и0. При этом g0 = и0. Кроме того.

если fj >0,...,tH >0 - точка минимума позинома g(x,,...,jcH), то (ft »•••.%■)€ А,

где щ =              -cfl*..*/*. * = 1,2,...,т,

go

- точка максимума двойственной функции у.

Далее, если (?/,,...,/;да)е А - произвольная точка максимума двойственной функции и, то любая точка минимума (/,,...,/„),

>0 позинома gfo ,.»>*„) удовлетворяет системе уравнений

скх?к..j£* = 7,^0, * = 1,2,...,ш.                                               (7.13)

б) Обратно, если двойственная функция v(S},...,$ltl) достигает на множестве А своего наибольшего значения в некоторой точке (?/,и система (7.13) имеет положительное решение

t{ >0,...,tn > 0, то всякое такое значение есть точка (глобального) минимума позинома #(.*,,..., х„) в области Xj > 0, j = 1,2,...,/?.

Заметим, что если двойственная задача имеет решение, т.е. точка максимума (iji9...9Tjm)&& двойственной функции и существует, и это решение получено, то нахождение положительных решений системы (7.13), равно как и выяснение того, что такие решения существуют, является сравнительно простой задачей. Система (7.13) имеет положительное решение тогда и только тогда, когда совместна (т.е. имеет какое-нибудь решение) система линейных уравнений

2>a.r, = Ь„ =logr^,k = U...,m,                                          (7.14)


получающаяся логарифмированием системы (7.13) по некоторому основанию г > О, г ф1.

7.4. Нахождение минимумов позиномов с помощью решения двойственной задачи

Применение теории двойственности для отыскания наименьших значений позиномов покажем на конкретном примере. Пример 7.1. Найти наименьшее значение позинома

g(x>y,z)=4x-,y-l=-1 +4xz+xy+2yz

в области х > О,у > 0,z > 0.

Рассмотрим двойственную задачу: найти

+ 8Л

Умножая 2-е уравнение этой системы на 1, а затем складывая все три уравнения, получаем 282 = (, т.е. 82= tj2. Теперь легко находим 8Ъ = 8Л - //2. Таким образом, положительные решения первых трех уравнений системы (7.15) имеют вид 8Х = /, 82 =8^= 8А =//2, где / > 0 - произвольное положительное число. В таком случае, исходя из последнего уравнения системы (7.15), получаем / + 3//2 = 1, т.е. / = 2/5. Следовательно, система уравнений (7.15) имеет единственное положительное решение

2                            1


г л Л


* f л л*>


i , Л*


(7.16)


max

)

1<У

4*J

1<U

при ограничениях

6Х >0,82 >0,8, >0,84 >0.

Составим систему из экспонент позинома

г   л   \

2<v . \v

(иначе говоря, множество А состоит из единственной точки (/ . i о)), но тогда максимум двойственной функции

= 10.

11/5 J

Г i V'Y 2 >

[2/5)

Далее, составим систему (7.7) для рассмотренного позинома:


(7.15)

-8,   +S2  +83 Sl    + 82   +8Ъ  + 84

Полагая 8, = г, перепишем первые три уравнения системы в виде


=   Wo

4xz

ху

= ш

2yz

(7.17)


Из системы (7.17) находим yz = 1 и х'1 =yz. Следовательно, х-1. Тогда из XV = 2 получаем у = 2. Наконец, г = 1/2 .

К тому же решению придем, прологарифмировав систему (7.17) по основанию 2:

f-log2x  -log2y   -log2r      =              О

Скачать файл