Методы оптимизации композиционных систем, страница 13

Замечания.

1.  В качестве критерия останова в методе штрафных функций можно использовать неравенство |х* - х^к/21 < £, где е > 0 - параметр точности; к - четное число. При его выполнении полагают х* = х^к ,f* = f(x^k).

2.  Для оценки точности решения, полученного методом штрафных функций, можно использовать следующий факт. Пусть - - какая-либо внутренняя точка допустимого множества U задачи выпуклого программирования /(л')-> min, #,(*)< 0,i^; = ],...,т (т.е. g,(z)<0 при всех/), а х - решение k-й вспомогательной задачи (6.5). Тогда справедлива следующая двухсторонняя оценка минимального значения функции f(x) на множестве U

ду)</</И, где х^к - a_kz + (l - а_к рс^к, а а_к - наименьшее из значений ae[0;.l], при которых g.(az + (l -а)х^к)< О для всех i = 1,..., т.

3. Недостатком метода штрафных функций является плохая обусловленность вспомогательной минимизируемой функции f_k(x) при больших/:.

6.2.2. Метод барьерных функций

В этом методе исходная задача нелинейного программирования также сводится к последовательности задач безусловной минимизации (6.5), но функции (р_к (х) выбирают таким образом, чтобы при больших к функции f_k(x) из (6.5) мало отличались от

f(x) во внутренних точках х допустимого множества U и, в то же время, при приближении точки х е U к границе множества U эти функции неограниченно возрастали.

Последовательность функций {<р_к(х)}, определенная во всех внутренних точках множества U, называется последовательностью барьерных функций этого множества, если выполняются условия:

1.  lim<p_k(х) = О для любой фиксированной внутренней точки к—хо х множества U;

2.   \im(p_k{x^r)=+сю для любой последовательности \х'') внутренних точек множества О, сходящейся к какой-либо граничной точке этого множества.

Таким образом, влияние барьерной функции (р_к{х) при больших к состоит в создании "барьера" с крутыми склонами вдоль границы допустимого множества.