Методы оптимизации композиционных систем, страница 14

>-г =7/3; я— =21/10;... На рис. 6.4 изображены графики функпий /*М ложение их точе-

7. Геометрическое программирование

Термин геометрическое программирование, появившийся в математической литературе примерно в 60-х годах двадцатого столетия, применяют для обозначения теории решения важного класса оптимизационных задач, которые можно сформулировать в терминах функций специального вида - так называемых пози-номов. -Это задачи отыскания наименьших значений позиномов в областях, описываемых неравенствами позиномиального вида. Оптимизационные задачи такого типа особенно важны при решении проблем, связанных с проектированием разного рода сооружений, изделий и т.д.

7.1. Задача геомегрического программирования

Многие содержательные задачи оптимизации, особенно з области технического проектирования, могут быть сформулированы в терминах специальных функций п переменных, получивших название позиномов. Дадим их определение.

Пусть с > 0 - произвольное положительное число, а^а₂,...,а„ - произвольные действительные числа. Функцию

«(х,,...,х_н) положительных переменных х₁,...,х₁₁, определенную

равенством

а     а

u(x_l,...,xj=cx_l ^l...x„ⁿ,

называют одночленным позиномом.

/и

Сумму  g(x,,...,x„) = Vы_А.(х,,...,х_н) конечного числа одночленных позиномов от переменных х,,...,х_п, т.е. функцию п переменных, определенную равенством а     а

g(x_lv..,x„)=£c_Vv₁^...x„"*,                                                         ₍₇₁₎

x_s > 0,...,х„ > 0;с, > 0,...,с„, > 0;а_л е R, называют позиномом. Слагаемые и_к(х_х,...,х_п) - члены позинома g, числа с₁,...,с_ш - его коэффициенты.

Следует обратить внимание, что коэффициенты с_к(к = {,...,т) позиномов положительны, в то время как показатели степеней a_jk(i - l,...,n\k =                 при переменных х,,...,х„ - произвольные действительные числа. Область определения позинома g состоит из точек (х,,...,х_и) с положительными координатами х,. Таким образом, позином (7.1) это положительная функция п положительных переменных.

Примерами позиномов соответственно одной, двух и п переменных могут служить функции

g_}(x)=nx ¹ +Y_ikx^v\x>0,

$2 & у) = х~^Щ + 2х²у~^ъ + ху^щ,х,у > 0, яДх„...,х_и) = ^ ₊ ^ ₊ ... ₊ 5tL₊5L_{tXi >0}.

Очевидно, если/и g - позиномы, то их сумма/+ g и произведение /• g также являются позиномами.

Пусть g.(x,,...x„) (/ = 0,1,...,/?) - некоторые позиномы от п переменных и х,,...,х„Ь_п - произвольные положительные числа. Тогда задача:

найти ming₀(x,,...,x_n) при ограничениях

х, >0,...,х„>0,                                                                            (7.2)

g_i(x_u...,x,)<b_iJ = \_y...,p,                                                       (7.3)