Транспортная задача. Матричные игры: Методические указания к практическим занятиям, страница 19

9. Каким ограничениям должны удовлетворять числа     и    чтобы пара чистых стратегий    была седловой в следующих играх а)        б)     

10. Доказать, что пара смешанных стратегий    является решением игры  с матрицей    и найти цену  игры

У к а з а н и е.Вычислить гарантированный   выигрыш     гарантированный  проигрыш     по  формулам  (30) и убедиться, что

11. По графикам   гарантированных выигрышей игрока   двух игр размера

записать платежные матрицы  этих игр. Доказать, что:  первая игра имеет цену

  а  её решением будет пара чистых стратегий  то есть      вторая  игра  имеет цену    решениями игры будут пары     где     

          12.Сократить платёжную матрицу и найти решение  и цену игры  графическим методом а)   б)   в)     г)

13. Найти все решения  и цену игры с матрицей

У к а з а н и е.Через точку    с наибольшей ординатой    на ломаной    проходят три прямые с угловыми коэффициентами      Парам чистых стратегий      и       соответствуют две различные минимаксные смешанные  стратегии      и    все выпуклые линейные комбинации      этих  стратегий  также будут минимаксными.

14. Показать, что в примере 13 нельзя  переходить к задачам ЛП без «сдвига»  элементов  матрицы      так как  задачи (36-37)   и  (38-39),  составленные  непосредственно по матрице   неразрешимы: в первой  из них целевая  функция не ограничена сверху (смотри пример 9 в [1]), а во второй нет допустимых планов (аналогичное утверждение верно для любой матричной игры,  в которой  ).

15. Найти решения и цены следующих игр методом ЛП:

а)      б)        в)     

16. (Игра «раз-два-три»). Каждый игрок  выбирает одно из трёх чисел (стратегий)   «раз»,  «два»,   или  «три». Выигрыш игрока    равен выбранному им числу, если оно совпадает с выбором противника, и  нулю в противном случае. Найти гарантирующие чистые стратегии, решение и цену игры в смешанных стратегиях.

17. (Угадай  1  или  2). Каждый игрок выбирает число 1  или  2    и одновременно пытается угадать выбор противника. Если только один игрок угадал правильно, его выигрыш равен сумме чисел, выбранных обоими игроками, во всех  остальных  случаях  игра заканчивается вничью: (выигрыш (про-игрыш  . Найти решение и цену игры. У к а з а н и я: 1) каждый игрок имеет четыре  чистые стратегии вида задуманное число,  предполагаемый ответ противника;  2) в матрице игры    (кососимметрическая матрица),  вектор максиминная смешанная стратегия тогда и только тогда, когда минимаксная стратегия;  3) задача ЛП, к которой сводится игра, имеет бесконечное множество оптимальных планов, смотри пример 8 в [1].

18. Противники    и     ведут  борьбу за два стратегических пункта. В распоряжении  имеется два полка, в распоряжении три;  обе стороны должны распределить свои силы между двумя пунктами. В каждом пункте выигрыш стороны, направившей в него    полков, против стороны, направившей  полков, равен    при    нулю при   при   Общий выигрыш каждого противника равен сумме его выигрышей в двух пунктах. Сформулировать задачу как игру двух лиц с нулевой суммой  и найти решение методом ЛП. У к а з а н и е.Пользуясь симметрией игры, можно привести к двум переменным (и решить графически) каждую из задач ЛП в двойственной паре.

Библиографический  список

1. Линейное программироваине: Метод. указания /Сост.М.Н. Соколовский.- Омск: Изд-во ОмГТУ, 2003 – 36с.

2. Линейное программирование. Двойственность. Зависимость оптимальных планов от исходных данных: Метод указания /Сост. М.Н. Соколовский.- Омск: Изд-во ОмГТУ, 2003 -36 с.

3. Мулен Э. Теория игр (с примерами из математической экономики). – М.: Мир, 1985.

См. также библиографический список в [1].