Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Конспект лекций, страница 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка  называется точкой локального максимума (минимума) функции  , если    

  Точки локального максимума или минимума называются токами локального экстремума (или просто точками экстремума) (рис.15).

ПРИМЕР.         

ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (без доказательства).

                                                                     y

a                            О                                                  b

х₀

Рис. 17

Как видно из рисунка 17, наибольшее и наименьшее значения достигаются либо на концах отрезка, либо в точках локального экстремума:    точка минимума,   правый конец отрезка.

ЗАМЕЧАНИЕ.  Непрерывная функция, заданная на интервале, может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений (рис. 18).

ТЕОРЕМА (Больцано – Коши). Пусть   непрерывна для всех   и  Тогда существует  точка  такая, что

Геометрический смысл этой теоремы ясно виден на рисунках: перейти с верхней  полуплоскости  на нижнюю  , двигаясь вдоль графика непрерывной функции, не пересекая ось , нельзя (рис. 19, 20).

Без доказательства.

ТЕОРЕМА (о промежуточных значениях). Пусть функция  непрерывна для всех   и   – ее наименьшее и наибольшее значения соответственно. Тогда для любого значения  найдется  такое, что 

Теорема утверждает, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения между  своими наибольшим и наименьшим значениями.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим , при этом   по теореме 6. Пусть  Эта функция непрерывна при всех   по теореме 1. Кроме того, очевидно,   Тогда для функции  выполнены условия теоремы 7, то есть существует  точка  такая, что   Что и требовалось доказать.

Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ     ИСЧИСЛЕНИЕ.

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ,

ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

К понятию производной приводят различные задачи из физики, механики, геометрии  и других областей знания. Рассмотрим две  такие  задачи.

ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ МГНОВЕННОЙ СКОРОСТИ. Пусть тело движется с переменной скоростью  и   – путь, пройденный за время  Определить мгновенную скорость в любой момент времени 

Если к моменту времени  пройдено расстояние  ,   а  к  моменту   

 – расстояние   то  – средняя скорость  движения. Если   – достаточно мало, то    причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше промежуток времени  , и если  , то есть  , то можно утверждать, что 

– мгновенная скорость  в момент  .

ЗАДАЧА О ПРОВЕДЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ

К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

Вначале дадим определение касательной к произвольной кривой в некоторой ее точке (известное определение касательной  к окружности  для произвольной кривой не подходит, например: ось  имеет с параболой   одну общую точку, однако касательной к ней не является).

Секущей будем называть прямую, проходящую через две точки, лежащие на кривой.