Математика \ Математика

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Конспект лекций, страница 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению , представимо в виде где а то есть – б.м. функция в точке

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции) Для того, чтобы функция была дифференцируемой в некоторой точке необходимо и достаточно, чтобы имела в этой точке конечную производную .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Необходимость: существует конечная производная .

Если то . Так как , то существует но по определению

2. Достаточность: существует конечная производная где – б.м. в точке

Обозначим . По условию существует , поэтому .

Тогда и если обозначить , то теорема доказана.

Таким образом, мы доказали, что дифференцируемость функции в некоторой точке эквивалентна существованию в этой точке конечной производной, поэтому процедуру вычисления производной называют дифференцированием.

aО x₀ b x

Рис. 24

– непрерывна,

дифференцируема, кроме , так как в точке а в точке не существует касательная (рис. 24).

Если дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке состоит из двух частей: – линейная относительно и – нелинейная относительно , б.м. более высокого порядка малости, чем .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть ее приращения в этой точке:

Если то поэтому Принято считать, что если – независимая переменная, то Итак, по определению .

ПРИМЕР. – найти

В частности

ТЕОРЕМА (о связи непрерывности и дифференцируемости). Пусть функция дифференцируема в точке , тогда она непрерывна в этой точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению дифференцируемости приращение функции представимо в виде . Тогда , что по определению 2 означает непрерывность в точке .

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратное утверждение неверно, то есть не всякая непрерывная функция дифференцируема (график непрерывной функции может иметь касательную не во всех точках).

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ТЕОРЕМА (о производной сложной функции). Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке и .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим Тогда функция получит приращение (быть может ), а функция – приращение Так как функция дифференцируема в точке , то по определению где . Разделим на : По условию дифференцируема, значит, и по теореме о связи непрерывности и дифференцируемости. Таким образом, если , то Отсюда имеем:

Итак, , что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Найти производную функции .

Это сложная функция:

Поэтому

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

ТЕОРЕМА (о производной обратной функции). Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о непрерывности обратной функции в некоторой окрестности точки , дифференцируема в этой точке и Тогда обратная функция дифференцируема в соответствующей точке и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим приращение Так как по условию теоремы о непрерывности обратной функции и строго монотонны, то Тогда По условию функция дифференцируема, значит, непрерывна, поэтому также непрерывна по теореме о непрерывности обратной функции. Отсюда (определение 2).