ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной называется всякая функция, которая задана одним аналитическим выражением, составленным из простейших элементарных функций при помощи четырех арифметических действий и суперпозиций, примененных конечное число раз.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказанных теорем следует, что все элементарные функции непрерывны в области определения.
ПРИМЕРЫ. 1) – элементарной не
является, так как задана двумя аналитическими выражениями.
2) –
элементарной не является, так как представляет собой сумму бесконечного числа
слагаемых.
3) – элементарная
функция, она непрерывна всюду, где определена.
Пусть определена
Если каждому значению
(или
соответствует
единственное значение
, то говорят, что
функция
– обратная для функции
.
y
Рис. 9 |
ПРИМЕРЫ. 1)
|
y y x О x Рис. 10 |
2) |
3) – обратная функция не
существует. Но если рассматривать только
, то
– обратная функция (рис. 11). Обратная
функция существует также, если считать, например, что
или
и т.д, так как одному значению
на каждом из этих промежутков
соответствует единственное значение
.
y
1 О x
Рис. 11 |
y 1 О x x Рис.12 |
4) Обратная функция
(рис.12).
Как видно из рассмотренных примеров, существование
обратной функции связано с монотонностью функции .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция называется возрастающей (убывающей)
на множестве Х, если
Возрастающие или убывающие функции называются строго монотонными.
ТЕОРЕМА (о
непрерывности обратной функции). Пусть функция непрерывна
и строго монотонна на
и
Тогда
на
(или на
)
определена обратная функция
, также непрерывная и
строго монотонная.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например,
возрастает
на
, то есть если
и
, то
Покажем,
что
также возрастает, то есть если
, то
.
Предположим противное:
Тогда, так как по
условию
возрастает, то
что
противоречит выбору
. Таким образом,
возрастает.
y
О Рис. 13 |
Пусть
|
Пусть
произвольно и такое, что
.
(рис.
13). Так как
возрастает, то
Выберем
так, что
Если
, то
, так как
тоже возрастает. Таким образом,
, что и означает непрерывность обратной
функции.
ТЕОРЕМА (об
устойчивости знака непрерывной в точке функции). Пусть непрерывна
в окрестности точки
и
тогда
существует
такое, что
для всех
Эта
теорема имеет ясный геометрический смысл: если непрерывная функция
положительна (отрицательна) в точке , то она
положительна (отрицательна) и где-то рядом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например, Так
как
непрерывна в точке
, то по определению 2 предела функции в
точке
Пусть
Случай
рассматривается аналогично с
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция называется ограниченной сверху (снизу) на
множестве
, если
такое,
что
Функция, ограниченная снизу и сверху, называется ограниченной
на , то есть
ТЕОРЕМА (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке (без доказательства).
ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывная функция, заданная на интервале, может быть неограниченной.
y 0,5 О 2 x Рис. 14 |
Очевидно, |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.