ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть – произвольные точки, тогда
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа
на
(непрерывность следует из
дифференцируемости). Напишем формулу Лагранжа
где
.
Если и
,
то
не убывает.
Аналогично
показывается, что если то
не
возрастает. Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Из доказательства теоремы следует, что если , то
возрастает, а при
убывает.
Интервалы, на которых функция либо убывает, либо возрастает, называются интервалами монотонности.
ПРИМЕР. Найти интервалы монотонности функции
Исследуем знак производной (рис. 29).
Рис. 29 |
Функция
убывает на и возрастает на
.
ТЕОРЕМА 2
(необходимое условие экстремума дифференцируемой функции) Пусть функция имеет в точке
экстремум.
Если в этой точке существует производная, то
Эта теорема является теоремой Ферма и была доказана ранее.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Необходимое условие экстремума достаточным не является.
у О x Рис. 30 |
ПРИМЕР. |
0 x Рис. 31 |
ЗАМЕЧАНИЕ
2. Рассмотрим функцию Так
как |
Таким
образом, непрерывная функция может иметь экстремум не только в тех точках, где
, но и в тех, где
не
существует.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Критическими точками функции называются точки, в которых
или
не
существует; при этом точки, в которых
,
называются стационарными точками.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
ТЕОРЕМА 3
(первое достаточное условие экстремума непрерывной функции). Пусть непрерывная
функция дифференцируема всюду на
за исключением, быть может, критической
точки
. Если
при
и
при
, то
– точка
минимума; если же
при
и
при
, то
– точка максимума.
То есть, если при переходе через критическую точку
производная меняет знак с «-» на «+», то в критической точке функция имеет
минимум; если с «+» на «-» - то максимум; если же при переходе через
критическую точку производная не меняет знак, то экстремума в точке нет.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Если при
, то по теореме 1
убывает. Если при
, то
возрастает.
Значит,
– точка минимума, так как
Если при
, а при
, то
слева
от
возрастает, а справа – убывает по
теореме 1. Значит,
– точка максимума по
определению.
Если окажется, что (или
) при
и при
, то слева и справа от
возрастает (убывает),
следовательно,
точкой экстремума не является.
Что и требовалось доказать.
ПРИМЕР.
Найти экстремумы функции
Исследуем знак производной (рис. 32).
Рис. 32 |
В критической точке экстремума нет, в критической точке
– минимум и
Пусть график функции имеет касательные во
всех точках интервала
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. График функции называется выпуклым
вверх (вниз) на
, если во всех точках
он лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.
y
a О b x Рис. 33 |
На
выпуклый
вверх, на |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точкой перегиба графика функции называется
точка
, отделяющая участок графика, выпуклый
вверх, от участка, выпуклого вниз.
В этой точке график, можно сказать «перегибается» через касательную.
ТЕОРЕМА 4. (достаточное
условие выпуклости вверх (вниз) графика функции). Пусть функция имеет непрерывную вторую производную
. Тогда, если
, то ее
график имеет выпуклость, направленную вверх, если
, то
график функции имеет на
выпуклость, направленную
вниз.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.