Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Конспект лекций, страница 13

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Пусть   – произвольные точки, тогда   удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на   (непрерывность следует из дифференцируемости). Напишем формулу Лагранжа

где  .

Если   и ,  то  не убывает.

Аналогично показывается, что если  то  не возрастает. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ.  Из доказательства теоремы следует, что если , то  возрастает, а при      убывает.

Интервалы, на которых функция либо убывает, либо возрастает, называются интервалами монотонности.

ПРИМЕР.  Найти интервалы монотонности функции 

Исследуем знак производной (рис. 29).

Функция убывает на  и возрастает на .

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции) Пусть функция  имеет в точке   экстремум. Если в этой точке существует производная, то

Эта теорема является теоремой Ферма и была доказана ранее.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Необходимое условие экстремума достаточным не является.

у       О               x Рис. 30

ПРИМЕР.  , но точка   точкой экстремума не является (рис. 30).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум не только в тех точках, где  , но и в тех, где   не существует.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Критическими точками функции  называются точки, в которых  или  не существует; при этом точки, в которых , называются стационарными точками.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума непрерывной функции). Пусть непрерывная функция  дифференцируема всюду на  за исключением, быть может, критической точки  . Если   при  и   при , то   – точка минимума;  если же  при  и   при , то   – точка максимума.

То есть, если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «-» на «+», то в критической точке функция имеет минимум; если с «+» на «-» - то максимум; если же при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то экстремума в точке   нет.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если  при  , то по теореме 1  убывает. Если при , то  возрастает. Значит,  – точка минимума, так как 

Если  при   , а при   , то  слева от    возрастает, а справа – убывает по  теореме 1. Значит,  – точка максимума по определению.

Если окажется, что  (или ) при  и при , то  слева и справа от    возрастает (убывает), следовательно,  точкой экстремума не является. Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР.  Найти экстремумы функции  

Исследуем знак производной (рис. 32).

В  критической  точке    экстремума  нет,  в  критической  точке  – минимум и  

Пусть график функции   имеет касательные во всех точках интервала .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  График функции  называется выпуклым вверх (вниз) на  , если во всех точках  он лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точкой перегиба графика функции  называется точка  , отделяющая участок графика, выпуклый вверх, от участка, выпуклого вниз.

В этой точке график, можно сказать  «перегибается» через касательную.

ТЕОРЕМА 4. (достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции). Пусть функция  имеет непрерывную вторую производную  . Тогда, если  , то ее график имеет выпуклость, направленную вверх, если  , то график функции имеет на  выпуклость, направленную вниз.