Математика \ Математика

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Конспект лекций, страница 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть заданы две переменные величины и с областями изменения Х и Y. Переменная называется функцией переменной , если каждому значению из множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение . Такие функции называются однозначными.

Чтобы задать функцию, надо

1) задать множество Х,

2) определить правило установления соответствия между и .

Способы задания функции:

1) аналитический (с помощью формул)

ПРИМЕР. а) б)

в) .

2) табличный

ПРИМЕРОМ табличного задания функции является расписание.

3) графический.

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждому значению из натурального ряда чисел 1,2,3,…,,…ставится в соответствие по некоторому правилу действительное число , то множество занумерованных действительных чисел называется числовой последовательностью.

Таким образом, последовательность – функция натурального аргумента,

называется общим или -м членом последовательности. Зная общий член , можно найти любой член последовательности.

ПРИМЕР.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если называется верхней гранью, а нижней гранью последовательности.

ПРИМЕРЫ. а) = или ограничена сверху: или ограничена снизу:

б) – сверху неограничена и снизу неограничена.

в) или ограничена снизу:

Сверху неограничена.

Если последовательность имеет верхнюю или нижнюю грани, то они неединственны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, то есть

ПРИМЕР. ограничена, так как или

Сформулируем еще одно эквивалентное этому определение ограниченной последовательности, которым, как правило, более удобно пользоваться.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной, если

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. называется неограниченной, если для любого положительного найдется хотя бы один элемент такой, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. называется бесконечно большой, если

ПРИМЕРЫ. а) : 2,5,10,17,26,…1001,… – неограниченная и бесконечно большая.

б) : 0,8,0,32,0,72,… – неограниченная, но не бесконечно большая.

Всякая бесконечно большая последовательность неограничена. Обратное утверждение неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если

ПРИМЕР. . Если , то

Если , то

Пусть произвольно, тогда . Таким образом, бесконечно мала.

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Если , две последовательности, то называется их суммой, разностью, произведением, а частным.

ТЕОРЕМА 1. Сумма двух б.м. последовательностей бесконечно мала.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть б.м. По определению это значит, что

Пусть б.м. По определению

Надо доказать, что

Зададим произвольное . Тогда для для Пусть , тогда что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2. Разность двух б.м. последовательностей бесконечно мала.

Доказать самостоятельно, используя неравенство

ТЕОРЕМА 3. Произведение б.м. последовательности и ограниченной бесконечно мало.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть б.м., а ограничена .Тогда по определению и

Надо доказать, что

Зададим произвольное Тогда для Поэтому Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть б.м. Тогда по определению

Положим Тогда

СЛЕДСТВИЕ. Если и б.м., то также б.м. : по теореме 4 ограничена, тогда по теореме 3 б.м.

ПРИМЕР. – б.м. Тогда также б.м. И вообще – б.м.

СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

И ИХ СВОЙСТВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. называется сходящейся, если – б.м. Число в этом случае называется пределом последовательности: . Кроме того, предел можно обозначать так: