Пусть Х – область определения функции, которая, быть
может, не содержит точку , но для любого
правая полуокрестность точки
(интервал
) содержит
точки множества Х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7
(правый предел функции в точке по Гейне). Число
называется правым пределом функции
в точке
, если
для любой последовательности значений ее аргумента
,
сходящейся к
и состоящей их чисел, больших
соответствующая последовательность значений
функций
сходится к
. Обозначение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8
(правый предел функции в точке по Коши). Число
называется правым пределом функции
в точке
, если
,
Для определения левого предела будем считать, что
любая левая полуокрестность точки , интервал
, содержит точки Х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9
(левый предел функции в точке по Гейне). Число
называется левым пределом функции
в точке
, если
для любой последовательности значений ее аргумента
,
сходящейся к
и состоящей их чисел, меньших
соответствующая последовательность
значений функций
сходится к
. Обозначение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
10 (левый предел функции в точке по Коши). Число
называется
левым пределом функции
в точке
, если
,
ПРИМЕР. Найти односторонние пределы (правый и левый) функции
в точках и
.
Так как справа от 0 и близко
к нему то
Очевидно,
что хорошо видно на графике функции (рис.
5):
y 1 -1 О 2 4 x Рис. 5 |
Существуют ли |
для того, чтобы функция имела в точке предел , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные односторонние пределы.
ПРИМЕР. Найти односторонние пределы функции в точке
ПРИМЕР. Найти односторонние пределы функции в точке
![]() |
y 1 О 1 2 x Рис. 6 |
Предел функции в этой точке существует, так как односторонние пределы равны (рис.6). |
СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется бесконечно
малой (б.м.) в точке
если
ПРИМЕРЫ. – б.м. в точках
– б.м.
в точках
– б.м.
в точке
Пусть и
– б.м. в точке
то есть
Предел отношения б.м. функций
называется неопределенностью вида
ПРИМЕР. – б.м. в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Б.м. в точке функция
имеет более высокий порядок малости,
чем
, если
2) Б.м. в точке функции
и
одного порядка малости, если
3) Б.м. в точке функции эквивалентны, если
.
Эквивалентные б.м.
обозначаются так:
ПРИМЕР. имеет более высокий
порядок малости в точке
, чем
и
и
одного порядка малости.
ПРИМЕР. Сравнить функции и
, б.м. в точке
Вычислим предел отношения:
в точке
ТЕОРЕМА (принцип замены эквивалентных бесконечно малых).
Пусть б.м. функции в точке
и
Тогда
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как то
Что и требовалось доказать.
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Докажем,
что Это равенство называется первым замечательным
пределом.
Рассмотрим
единичную окружность и угол радиан. Так как
то можно считать, что
C A
0 1 x Рис. 7 |
Очевидно, что
Так как Разделим неравенство на |
Все выражения здесь положительны, поэтому перейдем к обратным величинам:
(4)
Так как функции – четные, то есть
то неравенство (4) верно для
всех Рассмотрим произвольную
Из (4) имеем:
при
этом
Тогда
по принципу двустороннего ограничения (теорема 12) сходится
и
По определению 1 предела функции в точке
по Гейне получаем требуемое:
ЗАМЕЧАНИЕ. Доказанное
означает, что в точке б.м. функции
и
эквивалентны:
ПРИМЕРЫ.
1)Вычислить
Пусть Если
то
или по-другому: согласно принципу замены б.м.
2)
Таким
образом,
При
рассмотрении неопределенностей вида можно пользоваться
следующими соотношениями: при
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.