Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Конспект лекций, страница 5

Пусть  Х – область определения функции, которая, быть может, не содержит точку  , но для любого  правая полуокрестность точки  (интервал ) содержит точки множества Х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 (правый предел функции в точке  по Гейне). Число  называется  правым пределом функции    в точке   , если для любой последовательности значений ее аргумента  , сходящейся к  и состоящей их чисел, больших  соответствующая последовательность значений функций   сходится к . Обозначение:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 (правый предел функции в точке  по Коши). Число  называется правым  пределом  функции  в точке   , если ,      

Для определения левого предела будем считать, что любая  левая полуокрестность  точки  , интервал  , содержит  точки Х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 (левый предел функции в точке  по Гейне). Число  называется  левым  пределом функции   в точке   , если для любой последовательности значений ее аргумента  , сходящейся к  и состоящей их чисел, меньших       соответствующая последовательность значений функций   сходится к  . Обозначение: 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  10 (левый  предел функции в точке  по Коши). Число  называется левым пределом  функции  в точке   , если  ,      

ПРИМЕР.  Найти односторонние пределы (правый и левый) функции  

в точках  и .

Так как справа от 0 и близко к нему  то  Очевидно,

  

 что хорошо видно на графике функции (рис. 5):

y 1 -1    О     2       4                 x Рис. 5

Существуют ли  и  ?  Не существуют, так как левый предел не равен правому пределу в этих  точках. Имеет место утверждение:

для того, чтобы функция имела в точке предел , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные односторонние пределы.

ПРИМЕР.   Найти односторонние пределы функции   в точке 

ПРИМЕР.  Найти односторонние пределы функции    в точке    

 

y 1 О      1    2                     x Рис. 6

Предел функции в этой точке существует, так как односторонние пределы равны (рис.6).

СРАВНЕНИЕ  БЕСКОНЕЧНО  МАЛЫХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  называется бесконечно малой  (б.м.) в точке  если

ПРИМЕРЫ.   – б.м. в точках      – б.м. в точках    – б.м. в точке

Пусть  и  – б.м. в точке  то есть  Предел отношения б.м. функций   называется неопределенностью вида

ПРИМЕР.    – б.м. в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Б.м. в точке  функция  имеет более высокий порядок малости, чем , если 

2) Б.м. в точке  функции   и  одного порядка малости, если 

3) Б.м. в точке  функции эквивалентны, если

.

Эквивалентные б.м. обозначаются так:

ПРИМЕР.   имеет более высокий порядок малости в точке , чем    и  

 и   одного порядка малости.

ПРИМЕР.  Сравнить функции  и , б.м. в точке   

Вычислим предел отношения:

 

в точке

ТЕОРЕМА (принцип замены эквивалентных бесконечно малых). Пусть б.м. функции в точке  и  Тогда 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как   то  

Что и требовалось доказать.

ПЕРВЫЙ  ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ  ПРЕДЕЛ

Докажем,  что   Это равенство называется первым замечательным пределом.

Рассмотрим единичную окружность и угол  радиан. Так как    то можно считать, что  

y C A           В 0            1           x Рис. 7

Очевидно, что (рис. 7). Так как Разделим неравенство на

Все выражения здесь положительны, поэтому перейдем к обратным величинам:                                                                           

                                                       (4)              

Так как функции   – четные, то есть 

то неравенство (4) верно для всех   Рассмотрим  произвольную  Из (4) имеем:   при этом   

Тогда по принципу двустороннего ограничения (теорема 12)   сходится и   По определению 1 предела функции в точке по Гейне получаем требуемое:

ЗАМЕЧАНИЕ.  Доказанное  означает, что в точке   б.м. функции   и  эквивалентны:   

ПРИМЕРЫ.

1)Вычислить    

Пусть    Если  то

или по-другому:   согласно принципу замены б.м.

2)   

Таким образом, 

При рассмотрении  неопределенностей вида  можно пользоваться следующими соотношениями: при