Математика \ Математика

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Конспект лекций, страница 3

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Всякую бесконечно большую последовательность будем трактовать как сходящуюся к бесконечности, именно: если то а если то

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Из определения 3 следует, что отбрасывание любого конечного числа членов не изменяет факта ее сходимости и величину ее предела.

ЗАМЕЧЕНИЕ 3. Из определения 3 следует, что если сходится, то имеет единственный предел. Действительно, пусть

Рассмотрим непересекающиеся окрестности точек и . Все члены не могут находиться одновременно в них обеих, следовательно, =.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

ПРИМЕР. 1,0,-1,0,1,0,… Очевидно (определение 3), что расходится, то есть не существует.

ПРИМЕР. – б.м. Очевидно (определение 1), что : – б.м.

Таким образом, если произвольная б.м., то

ТЕОРЕМА 5. Если сходится, то ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 – б.м. Тогда По теореме 4 ограничена, то есть ограничена, что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. По теореме 5 всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная последовательность сходится.

ПРИМЕР. расходится, но , то есть ограничена.

ТЕОРЕМА 6. Пусть Тогда сходится и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 где – б.м. Тогда – б.м. по теореме 1. По определению 1

ТЕОРЕМА 7. Пусть Тогда сходится и

Доказать самостоятельно, используя определение 1 и теорему 2.

ТЕОРЕМА 8. Пусть Тогда сходится и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 где – б.м. Тогда – б.м. по теоремам 3,4,1. Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 9. Пусть Тогда определена, начиная с некоторого номера, сходится и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то выберем -окрестность точки , не содержащую 0. По определению 3 в выбранной -окрестности содержатся все , начиная с некоторого Значит, Отбросим все при (на факт сходимости и величину предела это не повлияет ).

По определению 1 где – б.м. – б.м. по теоремам 2,3,5. Отсюда

ПРИМЕРЫ. а) Найти . Так как , то теорему 9 применить нельзя. Предел, говорят в этом случае, представляет собой неопределенность вида . Чтобы вычислить его, или раскрыть неопределенность, преобразуем выражение, разделив числитель и знаменатель на : =. Ответ получен с помощью теорем 6,7,8,9 и уже доказанного факта:

б)

в)

Анализируя рассмотренные пределы и способ их вычисления, можно сформулировать ПРАВИЛО:

, где – степенные функции, зависящие от , – старшая степень числителя, – старшая степень знаменателя, – коэффициент при старшей степени переменной в числителе, – коэффициент при старшей степени переменной в знаменателе.

ПРИМЕРЫ. а) , так как

б) , так как

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ

ТЕОРЕМА 10 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть и, начиная с некоторого номера, Тогда

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Докажем, что тогда . Предположим противное: Так как сходится, то по определению 2 Пусть Тогда – противоречие, так как по условию . Таким образом, сделанное предположение неверно и