Основы физики твердого тела: Учебное пособие (содержит конспект лекций и практическую часть), страница 11

 N(E)dE = f(E)×g(E)×dE.                       

Функцию f(E) называют просто функцией распределения. Она выражает вероятность заполнения частицами данных состояний (или среднее число частиц, находящихся в данном состоянии). Таким образом, задача об отыскании полной функции распределения частиц по состояниям сводится к отысканию функций g(E) и f(E).

 3.3.  Понятие о фазовом пространстве

Представим себе классическую частицу. Её состояние можно определить заданием трёх координат (x, y, z) и трёх составляющих импульса (P_x, P_y, P_z). Состояние такой частицы в шестимерном пространстве с координатами x, y, z, P_x, P_y, P_z будет определяться точкой (x, y, z, P_x, P_y, P_z). Такое пространство называется фазовым, а определяющие состояние частицы точки называют фазовыми точками. Величина

DГ = DГ_y × DГ_p = dx dy dz dp_x dp_y dp_z          

называется элементом объема фазового пространства. Здесь DГ_y = dx dy dz представляет собой элемент объёма пространства координат, а DГ_p = dp_x dp_y dp_z – элемент объёма пространства импульсов.

Для классических частиц удобно пользоваться не шестимерным фазовым пространством, а трёхмерным пространством импульсов, так как в этом случае DГ_y равно просто объёму V, в котором движутся частицы: DГ_y = V.

        Для квантовых частиц дело обстоит иначе. Наличие у микрочастиц волновых свойств исключает, согласно принципу неопределённостей, возможность различать два состояния (x, y, z, P_x, P_y, P_z) и (x+dx, y+dy, z+dz, P_x+ dP_x, P_y+ dP_y, P_z+d P_z), если произведение dx dy dz dp_x dp_y dp_z          окажется < h³. Так как это произведение выражает элемент объема фазового пространства, то отсюда следует, что различным элементам объема шестимерного фазового пространства будут отвечать различные квантовые состояния микрочастицы лишь в том случае, если размер этих элементов объема не меньше h³. Поэтому в квантовой статистике за элементарную ячейку шестимерного фазового пространства принимается объем, равный

                                                  DГ = DГ_V DГ_P = h³.

Для классических частиц элемент трехмерного пространства импульсов равен

                                                   DГ_P = h³/V.

Процесс деления фазового пространства на ячейки конечной величины (h³   или  h³/V) называют квантованием фазового пространства.

3.4 Плотность состояний

          Подсчитаем число состояний, которым обладает микрочастица в интервале энергий от Е до Е+dЕ. Для этого проведем в пространстве импульсов две сферы радиусами р и р+dр. (рис. 3.1). Между этими сферами находится шаровой слой, имеющий объем, равный 4pp² dp. Число элементарных фазовых ячеек в этом слое 

                     .

Так как каждой ячейке отвечает одно состояние микрочастицы, то число состояний, приходящееся на интервал dp, заключенный между р и р+dр, равно

 .

Для невзаимодействующих частиц полная энергия . Отсюда

                                   .                            

Плотностью состояния g(E) называется число состояний микрочастицы, приходящееся на единичный интервал энергий

                                            .

Из последнего выражения видно, что с ростом Е плотность состояний увеличивается пропорционально  (рис. 3.2).

                         P_z

                                                                     g(E)

                           E      P

                                       p+dP 

                                                                 P_y

                              E+dE

   P_x                                                                                                                                            dE                          E

                         Рис. 3.1                                                               

                                                                                                        Рис. 3.2

В случае электронов каждой фазовой ячейке отвечает два состояния, отличающиеся друг от друга направлением спина, поэтому для электронов плотность состояний следует удвоить     

     .