Основы физики твердого тела: Учебное пособие (содержит конспект лекций и практическую часть), страница 10

Состояние частицы в твёрдом теле описывается заданием трех  её координат (x, y, z) и трёх проекций импульсов (Px, Py, Pz) на оси координат. Составляя уравнения движения для каждой частицы (уравнения Шредингера) и решая их, казалось бы, можно получить полные сведения о поведении системы частиц и предсказать её состояние в любой момент времени. Однако, как уже говорилось, такие расчёты не только сложны, но и бесполезны (ведь уравнений в системе 1023!). Решение подобных задач проводится совсем иным путём. Дело в том, что коллектив частиц подчиняется совсем другим закономерностям, чем единственная частица, причём эти закономерности являются статистическими. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Они позволяют предсказать лишь вероятность того или иного события.

По характеру поведения в коллективе все микрочастицы можно разделить на две группы: фермионы и бозоны. К первым относятся все частицы с полуцелым спином: электроны, протоны, нейтроны; ко вторым – частицы с нулевым или кратным целому числу ħ спином. Поведение фермионов резко отличается от поведения бозонов. Если первые стремятся к уединению (они подчиняются принципу Паули), то бозоны обладают стремлением к объединению.

Специфичность поведения микрочастиц будет проявляться лишь в случае очень частой “встречи” частиц. Здесь под “встречей” частиц понимается попадание двух частиц в одно и то же энергетическое состояние. Предположим, что на N частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная частица. Мерой частоты “встреч” может служить отношение N/G. Микрочастицы будут встречаться редко, если N/G << 1. В этом случае различных вакантных состояний много больше числа микрочастиц (G>>N). В таких условиях специфика фермионов и бозонов проявиться не может, поскольку в распоряжении каждой частицы имеется много различных свободных состояний, и вопрос о заселении одного и того же состояния несколькими частицами практически не возникает. Поэтому свойства коллектива, как целого, не будут зависеть от рода частиц. Такие коллективы называют невырожденными, а условие N/G << 1 называют условием невырожденности.

Если же выполняется условие N/G » 1 (число состояний G по порядку величины сравнимо с числом N), то вопрос о том, как заселять состояния, поодиночке или коллективом, становится весьма актуальным. Коллективы частиц, подчиняющиеся условию N/G » 1, называют вырожденными. В этом случае специфика микрочастиц проявляется в полной мере, оказывая влияние на свойства коллектива, как целого.

Вырожденные коллективы могут образовывать только квантовомеханические объекты, так как у таких объектов в силу дискретности параметров состояния число G является конечным. Квантовомеханические объекты могут образовывать и невырожденные коллективы, если выполняется условие N/G<<1. Классические объекты всегда образуют только невырожденные коллективы в силу бесконечно большого числа состояний G (вспомним, что параметры состояния классической частицы меняются непрерывно).

Свойства невырожденных коллективов описывает классическая статистика – распределение Максвелла-Больцмана. Статистика, изучающая свойства вырожденных коллективов, получила название квантовой. Квантовую статистику фермионов связывают с именами Э. Ферми и А. Дирака – распределение Ферми-Дирака, а статистику бозонов с именами Бозе и А.Эйнштейна – распределение Бозе-Эйнштейна.

3.2. Функция распределения

Чтобы задать состояние частиц, нужно задать состояние их координат и составляющих импульсов или энергии частиц, которая определяется их координатами и импульсами. Связь между этими двумя типами величин осуществляет полная статистическая функция распределения

N(E)dE ,                                 

которая выражает число частиц с энергией от E до E + dE, в системе, состояние которой описывается термодинамическими параметрами m и Т (m - химический потенциал, Т – абсолютная температура).

Эту функцию можно представить в виде произведения числа состояний g(E), приходящихся на интервал энергии dE, на вероятность заполнения этих состояний частицами – f(E).