Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Высшая математика". Задачи для самостоятельного решения, страница 7

1)  Для того, чтобы СЛУ была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, т.е.

АХ=В совместна   Û   .

2)  Совместная СЛУ будет определенной, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, т.е.

АХ=В определенная   Û   .

3)  Если ранги матрицы системы и расширенной матрицы меньше числа неизвестных, то СЛУ является неопределенной со степенью свободы, равной разности числа неизвестных и ранга, т.е.

.

3.5.3 Решение определенных СЛУ по формулам Крамера.

В частном случае, когда СЛУ является определенной и приведена к виду

(т.е. матрица системы – квадратная и det A¹0), решение СЛУ можно искать по формулам

,   j=1, 2, …, n,

где D= det A (главный определитель СЛУ),

      D_j – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-того

             столбца столбцом правых частей.

Пример1.

Решить СЛУ        по формулам Крамера.

Решение:

, , .

Ответ: , .

Пример 2.

26

вектор не меняется, если его переносить параллельно самому себе).

Пример:

Построить вектора =(2,3), =(-4,1) и =(0,-3) на плоскости ХОУ.

Этот рисунок подчеркивает, что каждый из векторов может быть построен из любой точки, выбранной произвольно.

Вектора принято обозначать прописными буквами , ,  и т.п. или двумя заглавными: , ,  и т.п. Вектор обозначают двумя заглавными буквами, если первая буква – обозначение точки его начала, а вторая – обозначение точки его конца:

=(x_b-x_a, y_b-y_a, z_b-z_a).

Стандартным   базисом   в   R⁽²⁾   служат   вектора   =(1,0)   и   =(0,1),  в  R⁽³⁾: =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).

Запись вектора в виде =а₁+а₂+а₃ тождественна записи =(а₁,а₂,а₃).

Длина вектора =(а₁,а₂,а₃) вычисляется по формуле

,

а косинусы углов вектора с координатными осями:

,          ,          .

35

7) a(bх)=(ab)х

8) (a+b)х=aх+bх

Линейным пространством, например, является множество всех матриц  одинаковой размерности.

Линейной комбинацией элементов линейного пространства х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(m)ÎХ называют выражение вида

a₁х⁽¹⁾+a₂х⁽²⁾+…+a_mx^(m) ÎХ,

a₁, a₂, …, a_m – произвольные числа.

Чаще всего рассматривают линейное векторное пространство R⁽ⁿ⁾, состоящее из элементов

(х₁, х₂, …, х_n),

называемых векторами с n координатами. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких пространств.

3.6.1 Линейная зависимость и независимость элементов

линейного пространства.

Элементы ⁽¹⁾, ⁽²⁾, …, ^(m) ÎХ называются линейно независимыми, если

a₁⁽¹⁾ + a₂⁽²⁾+ …+a_m^(m)=O

только при a₁=a₂= … =a_m=0.

Если равенство

a₁⁽¹⁾ + a₂⁽²⁾+ …+a_m^(m)=O

может быть выполнено и в том случае, когда хотя бы один коэффициент a_i¹0, то элементы называются линейно зависимыми.

Пример 1.

Рассмотрим =(1,2,5,1), =(0,1,3,1), =(2,3,7,1)

2--=(2,4,10,2) - (0,1,3,1) - (2,3,7,1)=(0,0,0,0)=O

По определению, , ,  - линейно зависимы.

Пример 2.

Проверить, являются ли элементы =(2,5,3), =(1,0,-1), =(5,1,1) линейно зависимыми.

Решение:

Составляем линейную комбинацию элементов и приравниваем ее к нулю.

a+b+g=(2a, 5a, 3a)+(b, 0, -b)+(5g, g, g)=(2a+b+5g, 5a+g, 3a-b+g)=O

Данное равенство соответствует СЛУ:

28

Легко показать, что .

3.6.4 Скалярное произведение в R⁽ⁿ⁾.

               Назовем скалярным произведением элементов  и Î R⁽ⁿ⁾ число, обозначаемое ×  и подчиняющееся следующим требованиям:

1) ×=×

2) (+)×=×+×

3) (a)×=a×(×)

4) ׳0  "хÎ R⁽ⁿ⁾, причем ×=0 только для =O.

Чаще всего × вычисляют по формуле

×=х₁у₁+х₂у₂+…+x_ny_n,

подразумевая, что =(х₁, х₂, …, x_n), =(у₁, у₂, …, y_n) в стандартном базисе.

Будем называть эту формулу стандартной.

Значение скалярного произведения для двух фиксированных  и  не должно меняться при изменении базиса, поэтому изменение базиса почти всегда требует, чтобы изменялась и формула для вычисления скалярного произведения.

Скалярное произведение в пространстве R⁽ⁿ⁾ позволяет ввести понятие длины элемента  и угла между  и .

В R⁽²⁾ и R⁽³⁾ эти понятия обретают привычный геометрический смысл, так как "ÎR⁽²⁾ или ÎR⁽³⁾ можно рассматривать как геометрический вектор: отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление по отношению к координатным осям.

               Длиной, или нормой  называют число ,

углом между  и  называют угол j, для которого .