Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Высшая математика". Задачи для самостоятельного решения, страница 3

1)                      2)

3)                                   4)

3. Найти ранги матриц. Указать, являются ли строки матриц линейно независимыми. Если не являются, выделить максимально возможное количество линейно независимых строк и оставшиеся строки представить в виде их линейной комбинации.

;

4. Решить матричное уравнение, используя обратные матрицы.

5. Среди данных векторов найти коллинеарные и ортогональные =(5,2,1), =(1,1,-7), =(-5,-2,1), =(-2,-2,14).

6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , ,  из предыдущей задачи, и площадь его основания.

7. Построить область на плоскости: .

8. Лежит ли прямая  в плоскости ?

51

Действия с матрицами:

1. Транспонирование В=А^Т Û b_ij=a_ij.

Например: .

2. Умножение на число В=aА Û b_ij=aa_ji.

3. Сложение двух матриц (операция имеет смысл только для матриц одной размерности)  Û c_ij=a_ij+b_ij.

4. Умножение двух матриц (операция имеет смысл только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы)  Û .

(иначе )

Например: .

Справедливо следующее:

               1)

               2) А+В=В+А

               3) a×(А+В)= aА+aВ

               4) А×В¹В×А (как правило). (если А×В=В×А, то А и В называют взаимно перестановочными)

               5) А×(В+С)=АВ+АС

               6) (АВ)×С=А×(ВС)

3.2 Определитель квадратной матрицы. Схема Гаусса вычисления определителей.

               Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, вычисленное по определенному правилу. Число это называют "определитель матрицы" и обозначают чаще всего D, det А или  (матрицу заключают в круглые скобки; замена скобок

12

каждом диске 12 букв. Сколько неудачных попыток открыть сейф может быть сделано человеком, не знающим кода?

               Число возможных комбинаций кода в данном случае равно : мы выбираем 5 элементов – букв из 12 различных (сортов) в определенном порядке, на каждом диске.

.

Значит, неудачных попыток может быть 248831.

2.4 Сочетания.

               Сочетанием m элементов из n различных называется выборка каких-либо m элементов из данных n элементов без учета порядка. Сочетания считаются разными, если они отличаются хотя-бы одним элементом.

               Количество различных сочетаний обозначается . Отметим, что из правила произведения следует:

.

               Поясним это равенство (его можно считать примером использования правила произведения). Размещение, как было сказано выше, конструируется следующим образом:

- выбирается объект А: m элементов из n в любом порядке (число способов выбора )

- выбирается объект В: выбранные m элементов расставляются определенным образом (число способов выбора ).

Следовательно, выбор размещения соответствует выбору пары объектов АВ и его можно осуществить  способами и  вычисляется по формуле:

 или .

Пример: В турнире участвуют 8 игроков. Из трех человек, занявших первые места, формируется команда для поездки на соревнование. Каким количеством способов может быть сформирована команда?

Решение: Вопрос сводится к следующему: каким количеством способов можно выбрать трех человек из восьми? (порядок выбора роли не играет) По определению – это число сочетаний из восьми по три:

.

Еще один пример: В магазине 12 сортов пирожных. Покупатель хочет купить шесть разных пирожных. Сколько вариантов выбора у него есть?

                                                              49

                        

Вычислим два определителя третьего порядка:

             

В итоге:

Легко заметить, что для вычисления одного определителя порядка  n  предложенный алгоритм может потребовать вычисления n×(n-1)×(n-2)× ×...×4×3 определителей второго порядка. (при n=10, например, 1814400 определителей) На практике определители вычисляются по схеме Гаусса. Эта схема позволяет, используя свойства определителей, преобразовать матрицу определителя к треугольной, верхней или нижней, не меняя значения определителя. Определитель же верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Свойства определителей:

1. det A= det А^Т (в силу этого все дальнейшие свойства, формулируемые для строк верны и для столбцов)